Номер 41, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 41

Уравнение касательной

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+2}{2-x^2}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$, которая параллельна прямой $y = 6x - 1$.

3. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$, проходящей через точку $B (-1; -4)$.

1. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \frac{x+2}{2-x^2}$ и точка $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = \frac{1+2}{2-1^2} = \frac{3}{1} = 3$.
2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x+2}{2-x^2}\right)' = \frac{(x+2)'(2-x^2) - (x+2)(2-x^2)'}{(2-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (2-x^2) - (x+2)(-2x)}{(2-x^2)^2} = \frac{2-x^2 + 2x^2 + 4x}{(2-x^2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 2}{(2-x^2)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1^2 + 4 \cdot 1 + 2}{(2-1^2)^2} = \frac{1+4+2}{(1)^2} = 7$.
4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=3$ и $f'(x_0)=7$ в уравнение касательной:
$y = 3 + 7(x-1)$
$y = 3 + 7x - 7$
$y = 7x - 4$.
Ответ: $y = 7x - 4$.

2. Условие параллельности прямой и касательной заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 6x - 1$ равен $k=6$. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 3)' = 2x - 2$.
2. Приравняем производную к угловому коэффициенту данной прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$f'(x_0) = 6$
$2x_0 - 2 = 6$
$2x_0 = 8$
$x_0 = 4$.
3. Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$.
Точка касания: $(4; 11)$.
4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 11 + 6(x-4)$
$y = 11 + 6x - 24$
$y = 6x - 13$.
Ответ: $y = 6x - 13$.

3. Пусть $(x_0, y_0)$ - точка касания. Уравнение касательной в этой точке имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^2 - 4$ и точка $B(-1; -4)$, через которую проходит касательная.
1. Сначала проверим, лежит ли точка B на графике функции:
$f(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Так как $f(-1) = -3 \ne -4$, точка B не является точкой касания.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.
3. Запишем общее уравнение касательной в точке $x_0$:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = (x_0^2 - 4) + 2x_0(x - x_0)$.
4. Так как касательная проходит через точку $B(-1; -4)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = -1$ и $y = -4$ в уравнение:
$-4 = (x_0^2 - 4) + 2x_0(-1 - x_0)$
$-4 = x_0^2 - 4 - 2x_0 - 2x_0^2$
$0 = -x_0^2 - 2x_0$
$x_0^2 + 2x_0 = 0$
$x_0(x_0 + 2) = 0$.
Отсюда получаем две возможные абсциссы точек касания: $x_{0_1} = 0$ и $x_{0_2} = -2$.
5. Найдем уравнения для каждой точки касания.
Случай 1: $x_0 = 0$.
$f(0) = 0^2 - 4 = -4$.
$f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
Уравнение касательной: $y = -4 + 0(x - 0) \Rightarrow y = -4$.
Случай 2: $x_0 = -2$.
$f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Уравнение касательной: $y = 0 + (-4)(x - (-2)) \Rightarrow y = -4(x+2) \Rightarrow y = -4x - 8$.
Таким образом, существует две касательные к графику функции, проходящие через точку B.
Ответ: $y = -4$ и $y = -4x - 8$.