Номер 37, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 37

Определение предела функции в точке и функции, непрерывной в точке

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 25, установите:

1) определена ли эта функция в точке $x_0$;

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен;

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке.

Рис. 25

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, \text{ если } x < -1, \\ x^2 + 5, \text{ если } x \ge -1, \end{cases}$ выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = -1$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \operatorname{ctg} 3x;$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}};$

3) $\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36}.$

1. Для каждой из функций, графики которых изображены на рисунке 25, установите:

График а

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Да, функция определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена закрашенная точка, которой соответствует значение функции $f(x_0)$.

Ответ: Да, определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева ($x \to x_0^-$), так и справа ($x \to x_0^+$), значения функции $f(x)$ стремятся к одному и тому же числу $f(x_0)$. Следовательно, предел функции в точке $x_0$ существует и равен $f(x_0)$.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Ответ: Да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Да, как показано в предыдущем пункте, предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой же точке. Это означает, что функция непрерывна в точке $x_0$.

Ответ: Да, равен.

График б

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Да, функция определена в точке $x_0$. На графике в этой точке изображена закрашенная точка, значение которой обозначено как $f(x_0)$.

Ответ: Да, определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Да, предел существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции $f(x)$ стремятся к значению $a$ (которому на графике соответствует выколотая точка). Левый и правый пределы равны, следовательно, предел функции в точке $x_0$ существует и равен $a$.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$

Ответ: Да, существует, $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Нет, предел не равен значению функции. Из графика видно, что $\lim_{x \to x_0} f(x) = a$, а значение функции $f(x_0)$ — это ордината закрашенной точки, и $f(x_0) \neq a$. В точке $x_0$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: Нет, не равен.

График в

1) определена ли эта функция в точке $x_0$

Нет, функция не определена в точке $x_0$. Прямая $x = x_0$ является вертикальной асимптотой для графика функции.

Ответ: Нет, не определена.

2) существует ли предел функции в точке $x_0$; в случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен

Конечный предел функции в точке $x_0$ не существует. Когда $x$ стремится к $x_0$ как слева, так и справа, значения функции неограниченно возрастают, то есть стремятся к бесконечности.

$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$

Ответ: Нет, конечный предел не существует.

3) если предел в точке $x_0$ существует, то равен ли он значению функции в этой точке

Так как конечный предел в точке $x_0$ не существует и функция в этой точке не определена, то сравнение невозможно. В точке $x_0$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: Вопрос некорректен, так как предел не существует и функция не определена.

2. Построив график функции $f(x) = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x < -1 \\ x^2 + 5, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$, выясните, является ли функция $f$ непрерывной в точке $x_0 = -1$.

1. Построим график функции.
Для $x < -1$ график представляет собой часть прямой $y = 4 - 2x$. На границе области, в точке $x=-1$, значение было бы $y=4-2(-1)=6$. Так как неравенство строгое, в точке $(-1, 6)$ будет выколотая точка.
Для $x \ge -1$ график представляет собой часть параболы $y = x^2 + 5$. В точке $x=-1$ имеем $y=(-1)^2+5=6$. Точка $(-1, 6)$ принадлежит этому участку графика.

2. Проверим непрерывность функции в точке $x_0 = -1$.
Функция непрерывна в точке, если значение функции в этой точке равно её пределу в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
Так как $x_0 = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, используем вторую формулу: $f(-1) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$.
Найдем предел функции при $x \to -1$. Для этого вычислим односторонние пределы.
Предел слева (при $x \to -1^-$):
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (4 - 2x) = 4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.
Предел справа (при $x \to -1^+$):
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 + 5) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6$.
Так как левый и правый пределы равны, то предел функции в точке $x_0 = -1$ существует и равен 6: $\lim_{x \to -1} f(x) = 6$.
Сравним значение функции и предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = 6$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 6$.
Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$, функция является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

Ответ: Да, функция является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

3. Вычислите предел:

1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \text{ctg}(3x)$

Функция $y = \text{ctg}(u)$ непрерывна в своей области определения. Подставим предельное значение аргумента $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение под знаком предела, так как оно входит в область определения:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \text{ctg}(3x) = \text{ctg}(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Ответ: 0.

2) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}}$

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия вынесем $\sqrt{x}$ за скобки в числителе и знаменателе (учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$):

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x} - 5x}{3x - 2\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(2 - 5\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3\sqrt{x} - 2)}$.

Сократим дробь на $\sqrt{x}$ (так как $x \to 0$, но $x \neq 0$):

$\lim_{x \to 0} \frac{2 - 5\sqrt{x}}{3\sqrt{x} - 2} = \frac{2 - 5\sqrt{0}}{3\sqrt{0} - 2} = \frac{2 - 0}{0 - 2} = -1$.

Ответ: -1.

3) $\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 - 36}$

При подстановке $x=6$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель $x^2 - 36$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$.

Числитель $x^2 - 7x + 6$ разложим на множители, найдя корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны 1 и 6. Таким образом, $x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6)$.

Подставим разложения в предел и сократим на $(x-6)$:

$\lim_{x \to 6} \frac{(x-1)(x-6)}{(x-6)(x+6)} = \lim_{x \to 6} \frac{x-1}{x+6}$.

Теперь подставим $x=6$:

$\frac{6-1}{6+6} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.