Номер 31, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = -1$;

2) $4tg \left(6x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0$;

3) $3ctg \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) - 8 = 0$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ctg \left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

3. Сколько корней уравнения $ctg 2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежит промежутку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение $\frac{tg x - a}{sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$?

1. Решите уравнение:

1) $tg(\frac{\pi}{3} - 2x) = -1$

Согласно определению арктангенса, получаем:
$\frac{\pi}{3} - 2x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$:
$-2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-2x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$
$-2x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$
$x = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}$
Так как $n$ — любое целое число, можем заменить $-n$ на $n$ для удобства:
$x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $4tg(6x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Сначала выразим тангенс:
$4tg(6x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$tg(6x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$
Теперь решим уравнение:
$6x - \frac{\pi}{4} = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{4} + \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{1}{6}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{1}{6}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3ctg(4x - \frac{\pi}{3}) - 8 = 0$

Выразим котангенс:
$3ctg(4x - \frac{\pi}{3}) = 8$
$ctg(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{8}{3}$
Согласно определению арккотангенса, получаем:
$4x - \frac{\pi}{3} = arcctg(\frac{8}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{3} + arcctg(\frac{8}{3}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}arcctg(\frac{8}{3}) + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}arcctg(\frac{8}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ctg(4x - \frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Сначала найдем общее решение уравнения:
$4x - \frac{\pi}{6} = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
$4x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
$4x = \frac{6\pi}{6} + \pi n$
$4x = \pi + \pi n = \pi(n+1)$
$x = \frac{\pi(n+1)}{4}$
Теперь найдем наименьший положительный корень. Для этого решим неравенство $x > 0$:
$\frac{\pi(n+1)}{4} > 0$
$n+1 > 0$
$n > -1$
Наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n=0$.
Подставим $n=0$ в формулу для $x$:
$x = \frac{\pi(0+1)}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3. Сколько корней уравнения $ctg(2x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежат промежутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$?

Найдем общее решение уравнения:
$2x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$
Теперь определим, при каких целых значениях $k$ корни попадают в заданный промежуток. Решим двойное неравенство:
$-\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-1 \le \frac{1}{6} + \frac{k}{2} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$
$-\frac{7}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{2}{6}$
$-\frac{7}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$
Умножим все части на 2:
$-\frac{14}{6} \le k \le \frac{2}{3}$
$-2\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}$
Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому неравенству: -2, -1, 0.
Таким образом, на данном промежутке существует 3 корня.

Ответ: 3.

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение $\frac{tg(x) - a}{\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$?

Данное уравнение равносильно системе условий:
$\begin{cases} tg(x) - a = 0 \\ \sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0 \\ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \end{cases}$
1. Решим уравнение $tg(x) - a = 0 \implies tg(x) = a$. На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $y=tg(x)$ принимает каждое действительное значение ровно один раз. Следовательно, для любого $a$ это уравнение имеет единственный корень на данном промежутке.
2. Рассмотрим ограничение $\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0 \implies \sin(x) \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ это ограничение нарушается только в одной точке: $x = -\frac{\pi}{3}$.
3. Необходимо выяснить, при каком значении параметра $a$ единственный корень уравнения $tg(x) = a$ совпадает с "запрещенным" значением $x = -\frac{\pi}{3}$.
Подставим $x = -\frac{\pi}{3}$ в уравнение $tg(x) = a$:
$a = tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Сделаем выводы:

• Если $a = -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $tg(x) = a$ это $x = -\frac{\pi}{3}$. Но при этом значении $x$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль, поэтому корень является посторонним. Следовательно, при $a = -\sqrt{3}$ уравнение не имеет корней.
• Если $a \ne -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $tg(x) = a$ не равен $-\frac{\pi}{3}$, а значит знаменатель в ноль не обращается. Следовательно, при $a \ne -\sqrt{3}$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a = -\sqrt{3}$, то корней нет; если $a \ne -\sqrt{3}$, то один корень.