Номер 24, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $;

2) $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + \text{tg} \frac{\beta}{4} \text{ctg} \frac{\beta}{4} $;

3) $ \frac{1 + \text{ctg}^2 5\varphi (\cos^2 5\varphi - 1)}{\sin^2 5\varphi} $.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $ \gamma $, если $ \text{ctg}\gamma = -\sqrt{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi $.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 7\cos^2 \varphi - 5\sin^2 \varphi $;

2) $ 4\cos^2 \beta - 5\text{tg}^2 \beta \cos^2 \beta $.

4. Упростите выражение $ \sqrt{\cos^2 \varphi (1 + \text{tg} \varphi) + \sin^2 \varphi (1 + \text{ctg} \varphi)} $;

если $ 3\pi < \varphi < \frac{7\pi}{2} $.

1. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = 7\beta $, поэтому $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta = 1 $.

Выражение принимает вид: $ 1 - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $.

Используем еще одно тождество: $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим его в наше выражение: $ 1 - (1 + \text{ctg}^2 2\beta) = 1 - 1 - \text{ctg}^2 2\beta = -\text{ctg}^2 2\beta $.

Ответ: $ -\text{ctg}^2 2\beta $

2) $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + \text{tg} \frac{\beta}{4} \cdot \text{ctg} \frac{\beta}{4} $

Используем тождество $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = \frac{\beta}{4} $, поэтому $ \text{tg} \frac{\beta}{4} \cdot \text{ctg} \frac{\beta}{4} = 1 $.

Выражение упрощается до: $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + 1 $.

Применим тождество $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Получаем: $ \frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}} $

3) $ \frac{1 + \text{ctg}^2 5\phi(\cos^2 5\phi - 1)}{\sin^2 5\phi} $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = 5\phi $, поэтому $ \cos^2 5\phi - 1 = -\sin^2 5\phi $.

Подставим это в числитель: $ 1 + \text{ctg}^2 5\phi \cdot (-\sin^2 5\phi) $.

Используем определение котангенса $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Числитель становится: $ 1 + \frac{\cos^2 5\phi}{\sin^2 5\phi} \cdot (-\sin^2 5\phi) = 1 - \cos^2 5\phi $.

Снова используя основное тождество, получаем $ 1 - \cos^2 5\phi = \sin^2 5\phi $.

Таким образом, всё выражение равно $ \frac{\sin^2 5\phi}{\sin^2 5\phi} = 1 $.

Ответ: $ 1 $

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла γ, если $ \text{ctg} \gamma = -\sqrt{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi $.

Угол $ \gamma $ находится в IV четверти, где $ \sin \gamma < 0 $, $ \cos \gamma > 0 $, $ \text{tg} \gamma < 0 $.

1. Найдем $ \text{tg} \gamma $:
$ \text{tg} \gamma = \frac{1}{\text{ctg} \gamma} = \frac{1}{-\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

2. Найдем $ \sin \gamma $ из тождества $ 1 + \text{ctg}^2 \gamma = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $:
$ 1 + (-\sqrt{5})^2 = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $
$ 1 + 5 = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $
$ \sin^2 \gamma = \frac{1}{6} $
Так как $ \gamma $ в IV четверти, $ \sin \gamma $ отрицателен: $ \sin \gamma = -\sqrt{\frac{1}{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} $.

3. Найдем $ \cos \gamma $ из тождества $ \text{ctg} \gamma = \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} $:
$ \cos \gamma = \text{ctg} \gamma \cdot \sin \gamma = (-\sqrt{5}) \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{30}}{6} $.
Значение положительное, что соответствует IV четверти.

Ответ: $ \sin \gamma = -\frac{\sqrt{6}}{6} $, $ \cos \gamma = \frac{\sqrt{30}}{6} $, $ \text{tg} \gamma = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 7\cos^2 \phi - 5\sin^2 \phi $

Используем тождество $ \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi $ и подставим в выражение:

$ 7\cos^2 \phi - 5(1 - \cos^2 \phi) = 7\cos^2 \phi - 5 + 5\cos^2 \phi = 12\cos^2 \phi - 5 $.

Область значений для $ \cos^2 \phi $ - это отрезок $ [0, 1] $.

Наименьшее значение достигается при $ \cos^2 \phi = 0 $:
$ 12 \cdot 0 - 5 = -5 $.

Наибольшее значение достигается при $ \cos^2 \phi = 1 $:
$ 12 \cdot 1 - 5 = 7 $.

Ответ: Наибольшее значение: $ 7 $, наименьшее значение: $ -5 $.

2) $ 4\cos^2 \beta - 5\text{tg}^2 \beta \cos^2 \beta $

Вынесем $ \cos^2 \beta $ за скобки:

$ \cos^2 \beta (4 - 5\text{tg}^2 \beta) $.

Подставим $ \text{tg}^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} $:

$ \cos^2 \beta (4 - 5 \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}) = 4\cos^2 \beta - 5\sin^2 \beta $.

Мы получили то же выражение, что и в предыдущем пункте. Следовательно, его наибольшее и наименьшее значения совпадают.

Ответ: Наибольшее значение: $ 7 $, наименьшее значение: $ -5 $.

4. Упростите выражение $ \sqrt{\cos^2 \phi(1 + \text{tg} \phi) + \sin^2 \phi(1 + \text{ctg} \phi)} $, если $ 3\pi < \phi < \frac{7\pi}{2} $.

Сначала упростим выражение под корнем. Раскроем скобки и заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \cos^2 \phi(1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}) + \sin^2 \phi(1 + \frac{\cos \phi}{\sin \phi}) = $

$ \cos^2 \phi \cdot \frac{\cos \phi + \sin \phi}{\cos \phi} + \sin^2 \phi \cdot \frac{\sin \phi + \cos \phi}{\sin \phi} = $

$ \cos \phi (\cos \phi + \sin \phi) + \sin \phi (\sin \phi + \cos \phi) = $

$ (\cos \phi + \sin \phi)(\cos \phi + \sin \phi) = (\cos \phi + \sin \phi)^2 $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \sqrt{(\cos \phi + \sin \phi)^2} = |\cos \phi + \sin \phi| $.

Условие $ 3\pi < \phi < \frac{7\pi}{2} $ означает, что угол $ \phi $ находится в III координатной четверти (если отбросить полный оборот $2\pi$, то это $ \pi < \phi - 2\pi < \frac{3\pi}{2} $).

В III четверти и синус, и косинус отрицательны: $ \sin \phi < 0 $ и $ \cos \phi < 0 $.

Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна: $ \cos \phi + \sin \phi < 0 $.

По определению модуля, $ |a| = -a $, если $ a < 0 $. Следовательно:

$ |\cos \phi + \sin \phi| = -(\cos \phi + \sin \phi) = -\cos \phi - \sin \phi $.

Ответ: $ -\sin \phi - \cos \phi $