Номер 20, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Знаки значений тригонометрических функций.

Чётность и нечётность тригонометрических функций

1. Найдите значение выражения

$2\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\text{cos}\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 4\text{sin}\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right).$

2. Сравните:

1) $\text{sin } 192^{\circ}$ и $\text{cos } 341^{\circ}$;

2) $\text{ctg }(-246^{\circ})$ и $\text{tg } 246^{\circ}$;

3) $\text{cos } \frac{8\pi}{15}$ и $\text{tg } \frac{7\pi}{5}$;

4) $\text{ctg } 8$ и $\text{sin } 1,5$.

3. Углом какой координатной четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\text{cos } \alpha > 0$ и $\text{sin } \alpha \text{cos } \alpha > 0$;

2) $|\text{cos } \alpha| = \text{cos } \alpha$ и $\text{sin } \alpha \text{cos } \alpha < 0$?

4. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{x \text{cos } x}{3 + \text{cos } x}$;

2) $f(x) = \frac{\text{cos } x}{6 - |x|}$;

3) $f(x) = \frac{(x + 3)\text{ctg } x}{x + 3}$.

1.

Найдем значение выражения $2\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{3})\cos(-\frac{\pi}{6}) + 4\sin(-\frac{\pi}{6}) - \operatorname{tg}^2(-\frac{\pi}{6})$.

Воспользуемся свойствами чётности и нечётности тригонометрических функций:

• Косинус — чётная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции: $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$, $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$.

Применяя эти свойства, преобразуем выражение:

$2(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{6}) + 4(-\sin\frac{\pi}{6}) - (-\operatorname{tg}\frac{\pi}{6})^2 = -2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} - 4\sin\frac{\pi}{6} - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}$.

Подставим табличные значения тригонометрических функций:

• $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычисляем значение выражения:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} - 2 - \frac{3}{9} = -1 - 2 - \frac{1}{3} = -3 - \frac{1}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

2.

1) $\sin 192^\circ$ и $\cos 341^\circ$

Определим знаки значений функций. Угол $192^\circ$ находится в III координатной четверти ($180^\circ < 192^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен, следовательно, $\sin 192^\circ < 0$.

Угол $341^\circ$ находится в IV координатной четверти ($270^\circ < 341^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен, следовательно, $\cos 341^\circ > 0$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $\sin 192^\circ < \cos 341^\circ$.

Ответ: $\sin 192^\circ < \cos 341^\circ$.

2) $\operatorname{ctg}(-246^\circ)$ и $\operatorname{tg} 246^\circ$

Так как котангенс — нечётная функция, $\operatorname{ctg}(-246^\circ) = -\operatorname{ctg}(246^\circ)$.

Угол $246^\circ$ находится в III координатной четверти ($180^\circ < 246^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и тангенс, и котангенс положительны: $\operatorname{tg} 246^\circ > 0$ и $\operatorname{ctg} 246^\circ > 0$.

Следовательно, $\operatorname{ctg}(-246^\circ) = -\operatorname{ctg}(246^\circ)$ является отрицательным числом.

Сравнивая отрицательное число $\operatorname{ctg}(-246^\circ)$ и положительное $\operatorname{tg} 246^\circ$, получаем $\operatorname{ctg}(-246^\circ) < \operatorname{tg} 246^\circ$.

Ответ: $\operatorname{ctg}(-246^\circ) < \operatorname{tg} 246^\circ$.

3) $\cos\frac{8\pi}{15}$ и $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{5}$

Определим, в каких четвертях находятся углы. Зная, что $\frac{\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{15}$ и $\pi = \frac{15\pi}{15}$, получаем, что $\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{15} < \pi$. Следовательно, угол $\frac{8\pi}{15}$ находится во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos\frac{8\pi}{15} < 0$.

Зная, что $\pi = \frac{5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$, получаем, что $\pi < \frac{7\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$. Следовательно, угол $\frac{7\pi}{5}$ находится в III четверти, где тангенс положителен: $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{5} > 0$.

Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем $\cos\frac{8\pi}{15} < \operatorname{tg}\frac{7\pi}{5}$.

Ответ: $\cos\frac{8\pi}{15} < \operatorname{tg}\frac{7\pi}{5}$.

4) $\operatorname{ctg} 8$ и $\sin 1,5$

Углы даны в радианах. Используем приближённое значение $\pi \approx 3,14$.

Для $\sin 1,5$: так как $0 < 1,5 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, угол $1,5$ радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, поэтому $\sin 1,5 > 0$.

Для $\operatorname{ctg} 8$: определим положение угла $8$ радиан. $2\pi \approx 6,28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7,85$, $3\pi \approx 9,42$. Так как $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$, угол $8$ радиан находится во II четверти (после полного оборота). Котангенс во II четверти отрицателен, поэтому $\operatorname{ctg} 8 < 0$.

Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем $\operatorname{ctg} 8 < \sin 1,5$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 8 < \sin 1,5$.

3.

1) $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$

Условие $\cos \alpha > 0$ выполняется для углов в I и IV координатных четвертях.

Условие $\sin \alpha > 0$ выполняется для углов в I и II координатных четвертях.

Оба условия одновременно выполняются только в I координатной четверти.

Ответ: I четверть.

2) $|\cos \alpha| = \cos \alpha$ и $\sin \alpha < 0$

Равенство $|\cos \alpha| = \cos \alpha$ означает, что $\cos \alpha \ge 0$. Это справедливо для углов в I и IV координатных четвертях.

Условие $\sin \alpha < 0$ выполняется для углов в III и IV координатных четвертях.

Оба условия одновременно выполняются только в IV координатной четверти.

Ответ: IV четверть.

4.

1) $f(x) = \frac{x \cos x}{3 + \cos x}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель $3 + \cos x$ не должен быть равен нулю. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $2 \le 3 + \cos x \le 4$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$, область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x) \cos(-x)}{3 + \cos(-x)} = \frac{-x \cos x}{3 + \cos x} = - \frac{x \cos x}{3 + \cos x} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\cos x}{6 - |x|}$

Область определения функции $D(f)$: знаменатель $6 - |x| \ne 0$, откуда $|x| \ne 6$, то есть $x \ne 6$ и $x \ne -6$. $D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; 6) \cup (6; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{6 - |-x|} = \frac{\cos x}{6 - |x|} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \frac{(x+3)\operatorname{ctg} x}{x+3}$

Область определения функции $D(f)$ определяется двумя условиями:
1) Знаменатель не равен нулю: $x+3 \ne 0 \implies x \ne -3$.
2) Котангенс определён: $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \ne -3 \text{ и } x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Для того чтобы функция была чётной или нечётной, её область определения должна быть симметрична относительно нуля. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен ей принадлежать.

В данном случае, точка $x=3$ принадлежит области определения (так как $3 \ne -3$ и $3 \ne \pi k$), а точка $x=-3$ не принадлежит. Так как область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.