Номер 13, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Свойства корня n-й степени

1. Сравните:

1) $3\sqrt{2}$ и $5\sqrt{3}$;

2) $8\sqrt{7}$ и $12\sqrt{18}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{(x - 3)^8}$;

2) $y = \sqrt[10]{(x + 1)^9} \cdot \sqrt[10]{x + 1}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{19}};$

2) $\sqrt[5]{-c^{22}};$

3) $\sqrt[4]{x^{14}y^{13}};$

4) $\sqrt[4]{-256y^{17}};$

5) $\sqrt[12]{x^{14}y^{17}}$, если $x \leq 0$;

6) $\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}}$, если $n \leq 0$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2m\sqrt[3]{3m^4};$

2) $b\sqrt{-b^7};$

3) $x^6\sqrt{x^5};$

4) $a^{12}\sqrt[5]{a^8}$, если $a \leq 0$;

5) $xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}}$, если $x < 0, y > 0$.

5. Упростите выражение:

$\left( \frac{\sqrt[4]{x} + 1}{\sqrt[4]{x} - 1} + \frac{\sqrt[4]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} + 1} \right) : \frac{5\sqrt{x} + 5}{3 - 3\sqrt{x}}$.

1. Сравните:

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[5]{3}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15.
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$
Так как $32 > 27$, то $\sqrt[15]{32} > \sqrt[15]{27}$, следовательно, $\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{3}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[8]{7}$ и $\sqrt[12]{18}$, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 8 и 12 равно 24.
$\sqrt[8]{7} = \sqrt[8 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[24]{343}$
$\sqrt[12]{18} = \sqrt[12 \cdot 2]{18^2} = \sqrt[24]{324}$
Так как $343 > 324$, то $\sqrt[24]{343} > \sqrt[24]{324}$, следовательно, $\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}$.
Ответ: $\sqrt[8]{7} > \sqrt[12]{18}$.

2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{(x-3)^8}$
Поскольку показатель корня 8 является четным числом, используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
$y = |x-3|$
График этой функции — это график функции $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox. Вершина графика находится в точке (3, 0). График состоит из двух лучей: $y = x-3$ при $x \ge 3$ и $y = -(x-3) = 3-x$ при $x < 3$.
Ответ: Графиком является "галочка" с вершиной в точке (3, 0).

2) $y = \sqrt[10]{(x+1)^9} \cdot \sqrt[10]{x+1}$
Область определения функции: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, упростим выражение:
$y = \sqrt[10]{(x+1)^9 \cdot (x+1)} = \sqrt[10]{(x+1)^{10}}$
Так как показатель корня 10 — четное число, то $y = |x+1|$.
Учитывая область определения $x \ge -1$, выражение $x+1$ всегда неотрицательно, поэтому $|x+1| = x+1$.
Таким образом, функция имеет вид $y = x+1$ при $x \ge -1$.
Графиком является луч, выходящий из точки (-1, 0) и проходящий через точку (0, 1).
Ответ: Графиком является луч $y = x+1$ с началом в точке (-1, 0).

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{x^{19}} = \sqrt[4]{x^{16} \cdot x^3} = \sqrt[4]{(x^4)^4 \cdot x^3} = x^4\sqrt[4]{x^3}$ (при $x \ge 0$).
Ответ: $x^4\sqrt[4]{x^3}$.

2) $\sqrt[5]{-c^{22}} = \sqrt[5]{-1 \cdot c^{20} \cdot c^2} = \sqrt[5]{(-1) \cdot (c^4)^5 \cdot c^2} = -c^4\sqrt[5]{c^2}$.
Ответ: $-c^4\sqrt[5]{c^2}$.

3) $\sqrt[4]{x^{14}y^{13}}$. Область определения: $x^{14}y^{13} \ge 0$. Так как $x^{14} \ge 0$, то $y^{13} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
$\sqrt[4]{x^{14}y^{13}} = \sqrt[4]{x^{12}x^2y^{12}y} = \sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot (y^3)^4 \cdot x^2y} = |x^3| \cdot |y^3| \cdot \sqrt[4]{x^2y}$.
Так как $y \ge 0$, $|y^3|=y^3$.
Получаем $|x^3|y^3\sqrt[4]{x^2y}$.
Ответ: $|x^3|y^3\sqrt[4]{x^2y}$.

4) $\sqrt[4]{-256y^{17}}$. Область определения: $-256y^{17} \ge 0 \implies y^{17} \le 0 \implies y \le 0$.
$\sqrt[4]{-256y^{17}} = \sqrt[4]{256 \cdot (-y^{17})} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (-y)^{16} \cdot (-y)} = 4(-y)^4\sqrt[4]{-y} = 4y^4\sqrt[4]{-y}$.
Ответ: $4y^4\sqrt[4]{-y}$.

5) $\sqrt[12]{x^{14}y^{17}}$, если $x \le 0$. Область определения: $x^{14}y^{17} \ge 0 \implies y \ge 0$.
$\sqrt[12]{x^{14}y^{17}} = \sqrt[12]{x^{12}x^2y^{12}y^5} = |x||y|\sqrt[12]{x^2y^5}$.
По условию $x \le 0$ и $y \ge 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|y| = y$.
Результат: $(-x)y\sqrt[12]{x^2y^5} = -xy\sqrt[12]{x^2y^5}$.
Ответ: $-xy\sqrt[12]{x^2y^5}$.

6) $\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}}$, если $n \le 0$. Область определения: $-m^{29}n^{16} \ge 0 \implies -m^{29} \ge 0 \implies m \le 0$.
$\sqrt[14]{-m^{29}n^{16}} = \sqrt[14]{m^{28}(-m)n^{14}n^2} = \sqrt[14]{(m^2)^{14}}\sqrt[14]{n^{14}}\sqrt[14]{-mn^2} = |m^2||n|\sqrt[14]{-mn^2}$.
Так как $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2|=m^2$. По условию $n \le 0$, поэтому $|n| = -n$.
Результат: $m^2(-n)\sqrt[14]{-mn^2} = -m^2n\sqrt[14]{-mn^2}$.
Ответ: $-m^2n\sqrt[14]{-mn^2}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $2m\sqrt[3]{3m^4} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^4} = \sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^4} = \sqrt[3]{24m^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24m^7}$.

2) $b\sqrt{-b^7}$. Область определения: $-b^7 \ge 0 \implies b \le 0$.
Поскольку множитель $b$ неположительный, при внесении под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус: $b\sqrt{-b^7} = -\sqrt{b^2(-b^7)} = -\sqrt{-b^9}$.
Ответ: $-\sqrt{-b^9}$.

3) $x^6\sqrt[6]{x^5}$. Область определения: $x^5 \ge 0 \implies x \ge 0$.
Множитель $x^6$ неотрицателен, поэтому: $x^6\sqrt[6]{x^5} = \sqrt[6]{(x^6)^6 \cdot x^5} = \sqrt[6]{x^{36}x^5} = \sqrt[6]{x^{41}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x^{41}}$.

4) $a^{12}\sqrt[4]{a^8}$, если $a \le 0$. Множитель $a^{12}$ всегда неотрицателен.
$a^{12}\sqrt[4]{a^8} = \sqrt[4]{(a^{12})^4 \cdot a^8} = \sqrt[4]{a^{48}a^8} = \sqrt[4]{a^{56}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^{56}}$.

5) $xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}}$, если $x < 0, y > 0$.
При данных условиях множитель $xy^3$ отрицателен ($x<0, y^3>0$). При внесении отрицательного множителя под корень четной степени перед корнем ставится знак минус:
$xy^3\sqrt[4]{x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{(xy^3)^4 \cdot x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^4y^{12}x^{10}y^{14}} = -\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{x^{14}y^{26}}$.

5. Упростите выражение

Упростим выражение $\left(\frac{\sqrt[4]{x}+1}{\sqrt[4]{x}-1} + \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[4]{x}+1}\right) : \frac{5\sqrt{x}+5}{3-3\sqrt{x}}$.
Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $x \neq 1$.
1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt[4]{x}-1)(\sqrt[4]{x}+1) = (\sqrt[4]{x})^2-1^2 = \sqrt{x}-1$:
$\frac{(\sqrt[4]{x}+1)^2 + (\sqrt[4]{x}-1)^2}{(\sqrt[4]{x}-1)(\sqrt[4]{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}+1) + (\sqrt{x}-2\sqrt[4]{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1} = \frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$.
2. Упростим делитель:
$\frac{5\sqrt{x}+5}{3-3\sqrt{x}} = \frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(1-\sqrt{x})} = \frac{5(\sqrt{x}+1)}{-3(\sqrt{x}-1)} = -\frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}-1)}$.
3. Выполним деление:
$\frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} : \left(-\frac{5(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}-1)}\right) = \frac{2(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} \cdot \left(-\frac{3(\sqrt{x}-1)}{5(\sqrt{x}+1)}\right)$.
Сокращаем $(\sqrt{x}+1)$ и $(\sqrt{x}-1)$, так как $x \neq 1$:
$\frac{2}{1} \cdot \frac{-3}{5} = -\frac{6}{5} = -1.2$.
Ответ: $-\frac{6}{5}$.