Номер 11, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Определение корня n-й степени. Функция $y = \sqrt[n]{x}$

1. Вычислите: $4(-\sqrt[8]{17})^8 - 2,3\sqrt[5]{100\,000} + \left(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96}\right)^5$

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[11]{x+2})^{11}$;

2) $y = (\sqrt[12]{3-x})^{12}$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{4x+8} \le 4$;

2) $\sqrt[14]{x^2-10} > \sqrt[14]{9x}$.

4. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $a\sqrt[12]{x} = 0$;

2) $ax^4 = 5$.

5. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y} \\ 5x^2 - 2y^2 = 48 \end{cases}$

1. Вычислите: $4(-\sqrt[8]{17})^8 - 2,35\sqrt[3]{100\,000} + (\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5$.

Решим по частям. (Примечание: В выражении $\sqrt[3]{100\,000}$ скорее всего допущена опечатка. Наиболее вероятно, что имелся в виду корень 5-й степени, так как $100\,000 = 10^5$. В решении будет использовано $\sqrt[5]{100\,000}$.)

1) $4(-\sqrt[8]{17})^8 = 4 \cdot ((-1)^8 \cdot (\sqrt[8]{17})^8) = 4 \cdot (1 \cdot 17) = 68$.

2) $2,35\sqrt[5]{100\,000} = 2,35 \cdot \sqrt[5]{10^5} = 2,35 \cdot 10 = 23,5$.

3) $(\frac{1}{2}\sqrt[5]{96})^5 = (\frac{1}{2})^5 \cdot (\sqrt[5]{96})^5 = \frac{1}{32} \cdot 96 = 3$.

4) Сложим результаты: $68 - 23,5 + 3 = 44,5 + 3 = 47,5$.

Ответ: $47,5$.

2. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[11]{x+2})^{11}$

Поскольку показатель корня $n=11$ является нечетным числом, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Для нечетного $n$ и любого действительного $a$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Следовательно, функция упрощается до $y = x+2$.

Графиком данной функции является прямая линия, проходящая, например, через точки с координатами $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x+2$.

2) $y = (\sqrt[12]{3-x})^{12}$

Поскольку показатель корня $n=12$ является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 3]$.

Для четного $n$ и $a \ge 0$ выполняется тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В области определения функции выражение $3-x$ неотрицательно, поэтому функция упрощается до $y = 3-x$.

Графиком данной функции является луч прямой $y = 3-x$, ограниченный областью определения $x \le 3$. Луч начинается в точке $(3, 0)$ и проходит, например, через точку $(0, 3)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y=3-x$ с областью определения $x \le 3$.

3. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{4x+8} \le 4$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $4x+8 \ge 0$, что дает $4x \ge -8$, и $x \ge -2$.

Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[4]{4x+8})^4 \le 4^4$

$4x+8 \le 256$

$4x \le 248$

$x \le 62$

Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x \ge -2$), находим итоговый ответ: $-2 \le x \le 62$.

Ответ: $x \in [-2, 62]$.

2) $\sqrt[14]{x^2-10} > \sqrt[14]{9x}$

Найдем ОДЗ. Так как корни четной степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x^2-10 \ge 0 \\ 9x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 \ge 10 \\ x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty) \\ x \ge 0 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge \sqrt{10}$.

Поскольку функция $y=\sqrt[14]{t}$ возрастающая, мы можем сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства:

$x^2-10 > 9x$

$x^2 - 9x - 10 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10, x_2 = -1$.

Решением неравенства $x^2 - 9x - 10 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (10, \infty)$.

Учитывая ОДЗ $x \ge \sqrt{10}$ (где $\sqrt{10} \approx 3.16$), получаем итоговое решение: $x > 10$.

Ответ: $x \in (10, \infty)$.

4. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $a\sqrt[12]{x} = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[12]{x} = 0$, то есть $0 = 0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=0$ решением является $x \ge 0$.

Случай 2: $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a$: $\sqrt[12]{x} = 0$. Возведя обе части в 12-ю степень, получаем $x = 0$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [0, \infty)$; если $a \neq 0$, то $x=0$.

2) $ax^4 = 5$

Рассмотрим различные значения параметра $a$.

Случай 1: $a=0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x^4 = 5$, или $0=5$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $a \neq 0$. Разделим обе части на $a$: $x^4 = \frac{5}{a}$.

Если $a < 0$, то $\frac{5}{a} < 0$. Уравнение $x^4 = (\text{отрицательное число})$ не имеет действительных корней, так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Если $a > 0$, то $\frac{5}{a} > 0$. Уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt[4]{\frac{5}{a}}$.

5. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y} \\ 5x^2 - 2y^2 = 48 \end{cases}$

ОДЗ системы определяется наличием корней четной степени: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x^5 + \sqrt[8]{x} = y^5 + \sqrt[8]{y}$.

Введем функцию $f(t) = t^5 + \sqrt[8]{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать в виде $f(x)=f(y)$.

Найдем производную этой функции: $f'(t) = 5t^4 + \frac{1}{8}t^{-7/8} = 5t^4 + \frac{1}{8\sqrt[8]{t^7}}$.

При $t > 0$ оба слагаемых в производной положительны, значит $f'(t) > 0$. Следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$.

Для строго монотонной функции равенство $f(x)=f(y)$ возможно только тогда, когда $x=y$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$5x^2 - 2x^2 = 48$

$3x^2 = 48$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

Согласно ОДЗ ($x \ge 0$), нам подходит только корень $x=4$.

Так как $y=x$, то $y=4$.

Проверим найденное решение $(4, 4)$, подставив его в исходную систему. ОДЗ ($4 \ge 0, 4 \ge 0$) выполняется.

$4^5 + \sqrt[8]{4} = 4^5 + \sqrt[8]{4}$ (верно)

$5(4^2) - 2(4^2) = 5 \cdot 16 - 2 \cdot 16 = 80 - 32 = 48$ (верно)

Ответ: $(4, 4)$.