Номер 4, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 4

Предикаты. Операции над предикатами.

Виды теорем

1. На множестве всех упорядоченных пар $(x; y)$ действительных чисел задан предикат $A(x; y) = \{(x + 4)^2 + y^2 = 0\}$. Укажите область истинности этого предиката.

2. На множестве $R$ заданы предикаты $A(x) = \{x^2 - 64 = 0\}$ и $B(x) = \{x^2 - 8x = 0\}$. Укажите область истинности предиката:

1) $A(x) \wedge B(x)$;

2) $A(x) \vee B(x)$

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$;

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$.

3. Вместо * поставьте один из кванторов $\forall$ или $\exists$, чтобы образовалось истинное высказывание:

1) $(\ast x \in R)(x^2 - 8x + 20 \ge 4)$;

2) $(\ast x \in R)(8x + 7 < 0)$.

4. Рассмотрим теорему: если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна $180^\circ$. Сформулируйте теорему:

1) противоположную данной;

2) обратную противоположной.

1. Задан предикат $A(x; y)$ на множестве всех упорядоченных пар действительных чисел, который определяется уравнением $(x + 4)^2 + y^2 = 0$. Для нахождения области истинности этого предиката необходимо найти все пары $(x; y)$, для которых данное равенство является верным. Выражение в левой части уравнения представляет собой сумму двух квадратов. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ слагаемые $(x + 4)^2$ и $y^2$ являются неотрицательными, то есть $(x + 4)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, для истинности предиката должна выполняться система уравнений: $$ \begin{cases} (x+4)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, получаем: $x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$
$y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$
Таким образом, единственной парой чисел, удовлетворяющей условию, является $(-4; 0)$. Область истинности предиката состоит из одного этого элемента.
Ответ: Область истинности предиката $A(x; y)$ есть множество $\{(-4; 0)\}$.

2. Сначала найдем области истинности $T_A$ и $T_B$ для предикатов $A(x) = \{x^2 - 64 = 0\}$ и $B(x) = \{x^2 - 8x = 0\}$ на множестве действительных чисел $R$.
Для предиката $A(x)$: $x^2 - 64 = 0 \Rightarrow (x-8)(x+8) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -8$. Область истинности $T_A = \{-8, 8\}$.
Для предиката $B(x)$: $x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x-8) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$. Область истинности $T_B = \{0, 8\}$.
Теперь найдем области истинности для сложных предикатов.

1) $A(x) \land B(x)$
Конъюнкция ("логическое И") $A(x) \land B(x)$ истинна тогда и только тогда, когда истинны оба предиката $A(x)$ и $B(x)$. Область истинности конъюнкции является пересечением областей истинности исходных предикатов: $T_{A \land B} = T_A \cap T_B$.
$T_{A \land B} = \{-8, 8\} \cap \{0, 8\} = \{8\}$.
Ответ: $\{8\}$.

2) $A(x) \lor B(x)$
Дизъюнкция ("логическое ИЛИ") $A(x) \lor B(x)$ истинна тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $A(x)$ или $B(x)$. Область истинности дизъюнкции является объединением областей истинности исходных предикатов: $T_{A \lor B} = T_A \cup T_B$.
$T_{A \lor B} = \{-8, 8\} \cup \{0, 8\} = \{-8, 0, 8\}$.
Ответ: $\{-8, 0, 8\}$.

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$
Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ ложна только в том случае, когда посылка $A(x)$ истинна, а заключение $B(x)$ ложно. Это соответствует тем значениям $x$, которые принадлежат $T_A$, но не принадлежат $T_B$. Множество таких $x$ равно $T_A \setminus T_B = \{-8, 8\} \setminus \{0, 8\} = \{-8\}$. Следовательно, импликация ложна только при $x = -8$. Для всех остальных действительных чисел $x \in R$ она истинна. Область истинности: $R \setminus \{-8\}$.
Ответ: $R \setminus \{-8\}$.

4) $A(x) \Leftrightarrow B(x)$
Эквиваленция $A(x) \Leftrightarrow B(x)$ истинна, когда оба предиката $A(x)$ и $B(x)$ имеют одинаковое значение истинности (то есть, оба истинны или оба ложны).
1. Оба предиката истинны при $x \in T_A \cap T_B = \{8\}$.
2. Оба предиката ложны при $x \notin T_A$ и $x \notin T_B$, то есть при $x \in R \setminus (T_A \cup T_B) = R \setminus \{-8, 0, 8\}$.
Область истинности эквиваленции является объединением этих двух множеств: $\{8\} \cup (R \setminus \{-8, 0, 8\}) = R \setminus \{-8, 0\}$.
Ответ: $R \setminus \{-8, 0\}$.

3.

1) $(*x \in R)(x^2 - 8x + 20 \ge 4)$
Рассмотрим неравенство: $x^2 - 8x + 20 \ge 4$. Перенесем 4 в левую часть: $x^2 - 8x + 16 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом разности: $(x - 4)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид $(x - 4)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого $x \in R$. Следовательно, чтобы высказывание было истинным, нужно использовать квантор всеобщности $\forall$.
Ответ: $\forall$.

2) $(*x \in R)(8x + 7 < 0)$
Рассмотрим неравенство: $8x + 7 < 0$. Решим его относительно $x$: $8x < -7 \Rightarrow x < -7/8$. Данное неравенство выполняется не для всех действительных чисел (например, для $x=0$ оно ложно, так как $7 \not< 0$). Значит, квантор всеобщности $\forall$ не подходит. Однако, существуют действительные числа, удовлетворяющие этому неравенству (любое число, меньшее $-7/8$, например, $x=-1$). Следовательно, чтобы высказывание было истинным, нужно использовать квантор существования $\exists$.
Ответ: $\exists$.

4. Рассмотрим исходную теорему: "Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°". Пусть $P$ - это утверждение "две прямые параллельны", а $Q$ - это утверждение "сумма односторонних углов равна 180°". Тогда теорема имеет вид импликации $P \Rightarrow Q$.

1) противоположную данной
Теорема, противоположная данной (инверсия), имеет вид $\neg P \Rightarrow \neg Q$. Здесь $\neg P$ - "две прямые не параллельны", а $\neg Q$ - "сумма односторонних углов не равна 180°".
Формулировка: "Если две прямые не параллельны (пересекаются) и пересечены секущей, то сумма односторонних углов не равна 180°".
Ответ: Если две прямые не параллельны и пересечены секущей, то сумма односторонних углов не равна 180°.

2) обратную противоположной
Теорема, обратная противоположной (контрапозиция), имеет вид $\neg Q \Rightarrow \neg P$. Эта теорема логически эквивалентна исходной.
Формулировка: "Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов не равна 180°, то эти две прямые не параллельны (пересекаются)".
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов не равна 180°, то эти прямые не параллельны.