Номер 44, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 44

Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$, $[-4; 0]$;

2) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1]$;

3) $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$, $[-5; 1]$.

2. В полукруг радиуса $3\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$ на отрезке $[-4; 0]$, найдем ее производную: $f'(x) = 3x^2 + 3x - 18$. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $3x^2 + 3x - 18 = 0$, что эквивалентно $x^2 + x - 6 = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Из этих точек только $x = -3$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$. Теперь вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка:
$f(-4) = (-4)^3 + \frac{3}{2}(-4)^2 - 18(-4) + 1 = -64 + 24 + 72 + 1 = 33$.
$f(-3) = (-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 - 18(-3) + 1 = -27 + 13.5 + 54 + 1 = 41.5$.
$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2}(0)^2 - 18(0) + 1 = 1$.
Сравнивая значения $33$, $41.5$ и $1$, находим, что наибольшее значение функции на отрезке равно $41.5$, а наименьшее — $1$.
Ответ: Наибольшее значение $41.5$, наименьшее значение $1$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$ на отрезке $[-4; 1]$. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt{15 - 2x - x^2})' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-(x+1)}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$. Критическая точка находится из условия $f'(x)=0$, то есть $-(x+1) = 0$, откуда $x = -1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-4; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:
$f(-4) = \sqrt{15 - 2(-4) - (-4)^2} = \sqrt{15 + 8 - 16} = \sqrt{7}$.
$f(-1) = \sqrt{15 - 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{15 + 2 - 1} = \sqrt{16} = 4$.
$f(1) = \sqrt{15 - 2(1) - (1)^2} = \sqrt{15 - 2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Сравним полученные значения: $\sqrt{7}$, $4$ и $2\sqrt{3}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $7 < 12 < 16$, то наибольшее значение равно $4$, а наименьшее — $\sqrt{7}$.
Ответ: Наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\sqrt{7}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на отрезке $[-5; 1]$. Раскроем модуль на заданном отрезке. При $x \in [-5; 0)$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 + 8x + 15$. Ее производная $f'(x) = 2x + 8$. Критическая точка $x = -4$ (из $2x+8=0$) принадлежит интервалу $(-5; 0)$. При $x \in [0; 1]$, $|x| = x$, и функция принимает вид $f(x) = x^2 - 8x + 15$. Ее производная $f'(x) = 2x - 8$. Критическая точка $x=4$ (из $2x-8=0$) не принадлежит отрезку $[0; 1]$. Точка $x=0$ является точкой излома графика, поэтому ее также необходимо проверить. Вычислим значения функции в критической точке $x=-4$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=1$, а также в точке $x=0$:
$f(-5) = (-5)^2 - 8|-5| + 15 = 25 - 40 + 15 = 0$.
$f(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
$f(0) = 0^2 - 8|0| + 15 = 15$.
$f(1) = 1^2 - 8|1| + 15 = 1 - 8 + 15 = 8$.
Среди значений $0$, $-1$, $15$ и $8$ наибольшее равно $15$, а наименьшее равно $-1$.
Ответ: Наибольшее значение $15$, наименьшее значение $-1$.

2. Пусть полукруг радиуса $R = 3\sqrt{5}$ см задан уравнением $x^2 + y^2 = R^2$ при $y \ge 0$. Пусть одна сторона вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга. Тогда вершины прямоугольника будут иметь координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$.
Периметр прямоугольника $P$ как функция от $x$ равен $P(x) = 2(2x + y) = 4x + 2\sqrt{R^2 - x^2}$, где $x \in [0, R]$.
Чтобы найти наибольший периметр, найдем производную $P(x)$: $P'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2 - x^2}} = 4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$.
Приравняем производную к нулю: $4 - \frac{2x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = 0$, откуда $4\sqrt{R^2 - x^2} = 2x$, или $2\sqrt{R^2 - x^2} = x$.
Возведем обе части в квадрат: $4(R^2 - x^2) = x^2$, что дает $4R^2 - 4x^2 = x^2$, и $5x^2 = 4R^2$.
Отсюда $x^2 = \frac{4R^2}{5}$, и $x = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.
Подставим значение $R = 3\sqrt{5}$: $x = \frac{2 \cdot 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 6$ см.
Найдем стороны прямоугольника: Одна сторона равна $2x = 2 \cdot 6 = 12$ см. Другая сторона равна $y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3$ см.
Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшим периметром равны 12 см и 3 см.
Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 3 см.