Номер 38, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 3 - 5x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 5 \text{ с}$.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1. Дана функция $f(x) = 3 - 5x^2$ и точка $x_0$.
Сначала найдем отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$.
Приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Подставим выражение для функции $f(x)$:
$\Delta f = (3 - 5(x_0 + \Delta x)^2) - (3 - 5x_0^2)$
Раскроем скобки:
$\Delta f = 3 - 5(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - 3 + 5x_0^2$
$\Delta f = 3 - 5x_0^2 - 10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2 - 3 + 5x_0^2$
Упростим выражение:
$\Delta f = -10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2$
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-10x_0\Delta x - 5(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-10x_0 - 5\Delta x)}{\Delta x} = -10x_0 - 5\Delta x$
Далее найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$. Это значение по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} (-10x_0 - 5\Delta x)$
Подставляя $\Delta x = 0$, получаем:
$\lim_{\Delta x\to 0} (-10x_0 - 5\Delta x) = -10x_0 - 5 \cdot 0 = -10x_0$
Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -10x_0 - 5\Delta x$; $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -10x_0$.

2. Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 2t^2 + 4$, где $s$ — перемещение в метрах, $t$ — время в секундах.
Мгновенная скорость $v(t)$ материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени.
$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 4)'$
Найдем производную, используя правила дифференцирования:
$v(t) = (2t^2)' + (4)' = 2 \cdot 2t + 0 = 4t$
Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 5$ с, подставим это значение в найденную функцию скорости:
$v(5) = 4 \cdot 5 = 20$ м/с.
Ответ: 20 м/с.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.
Дана функция $y = x^2 - 1$.
Сначала найдем ее производную $y'$:
$y' = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$
Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$:
$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$
Следовательно, угловой коэффициент касательной в указанной точке равен 2.
Ответ: 2.