Номер 31, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $ \text{tg } x = b $ и $ \text{ctg } x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} - 4x \right) = -1; $

2) $ 6 \text{tg } \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) - 7 = 0; $

3) $ 3 \text{ctg } \left( 6x - \frac{\pi}{3} \right) - 10 = 0. $

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ \text{tg } \left( 6x + \frac{\pi}{3} \right) = -1. $

3. Сколько корней уравнения $ \text{tg } 2x = \sqrt{3} $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right]? $

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра $ a $ имеет уравнение $ \frac{\text{ctg } x - a}{\text{cos } x + \frac{1}{2}} = 0 $ на промежутке $ (-\pi; 0)? $

1.

1) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = -1$

Это уравнение вида $\text{tg}(y) = b$. Общее решение такого уравнения: $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = \frac{\pi}{3} - 4x$ и $b = -1$.

$\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, получаем:

$\frac{\pi}{3} - 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$-4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$-4x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$

$-4x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на -4:

$x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}$

Так как $n$ может быть любым целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), то $-n$ также пробегает все целые числа. Для упрощения записи можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $6\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 7 = 0$

Сначала преобразуем уравнение к виду $\text{tg}(y) = b$.

$6\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 7$

$\text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{7}{6}$

Теперь используем общую формулу решения $y = \text{arctg}(b) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$2x - \frac{\pi}{4} = \text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = \frac{\pi}{4} + \text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{7}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) - 10 = 0$

Преобразуем уравнение к виду $\text{ctg}(y) = b$.

$3\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = 10$

$\text{ctg}\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{10}{3}$

Общее решение уравнения $\text{ctg}(y) = b$ имеет вид $y = \text{arcctg}(b) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$6x - \frac{\pi}{3} = \text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \pi n$

Выразим $x$:

$6x = \frac{\pi}{3} + \text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\text{arcctg}\left(\frac{10}{3}\right) + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2.

Дано уравнение $\text{tg}\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Найдем общее решение уравнения:

$6x + \frac{\pi}{3} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

$6x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$6x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$6x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$

$6x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$

Теперь найдем наименьший положительный корень. Для этого решим неравенство $x > 0$ относительно $n$.

$-\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi n}{6} > 0$

$\frac{\pi n}{6} > \frac{7\pi}{72}$

Разделим обе части на $\pi$ и умножим на 6:

$n > \frac{7 \cdot 6}{72}$

$n > \frac{42}{72}$

$n > \frac{7}{12}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом ($n \in \mathbb{Z}$), наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 1$.

Подставим $n=1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:

$x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi \cdot 1}{6} = -\frac{7\pi}{72} + \frac{12\pi}{72} = \frac{5\pi}{72}$

Ответ: $\frac{5\pi}{72}$.

3.

Дано уравнение $\text{tg}(2x) = \sqrt{3}$ и промежуток $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

Сначала найдем общее решение уравнения:

$2x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Теперь определим, какие из этих корней принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{6} + \frac{n}{2} \le 1$

Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:

$-\frac{1}{2} - \frac{1}{6} \le \frac{n}{2} \le 1 - \frac{1}{6}$

$-\frac{3}{6} - \frac{1}{6} \le \frac{n}{2} \le \frac{6}{6} - \frac{1}{6}$

$-\frac{4}{6} \le \frac{n}{2} \le \frac{5}{6}$

$-\frac{2}{3} \le \frac{n}{2} \le \frac{5}{6}$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4}{3} \le n \le \frac{10}{6}$

$-1\frac{1}{3} \le n \le 1\frac{2}{3}$

Целые значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.

Таким образом, на заданном промежутке существует 3 корня.

Ответ: 3.

4.

Дано уравнение $\frac{\text{ctg}\,x - a}{\cos x + \frac{1}{2}} = 0$ на промежутке $(-\pi; 0)$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Также необходимо учесть область определения котангенса.

Это равносильно системе условий:

$\begin{cases} \text{ctg}\,x - a = 0 \\ \cos x + \frac{1}{2} \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \\ x \in (-\pi; 0) \end{cases}$

Рассмотрим каждое условие на промежутке $(-\pi; 0)$:

1. $\text{ctg}\,x = a$. На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y=\text{ctg}\,x$ принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$ по одному разу. Это означает, что для любого значения параметра $a$ уравнение $\text{ctg}\,x = a$ имеет ровно один корень на этом интервале.

2. $\sin x \neq 0$. На интервале $(-\pi; 0)$ синус не обращается в ноль, так что это условие всегда выполнено.

3. $\cos x + \frac{1}{2} \neq 0 \implies \cos x \neq -\frac{1}{2}$. На интервале $(-\pi; 0)$ косинус равен $-\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень должен быть исключен.

Таким образом, исходное уравнение имеет решение, если корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ не совпадает с исключаемым значением $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Найдем значение параметра $a$, при котором корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ равен $-\frac{2\pi}{3}$.

$a = \text{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, возможны два случая:

1. Если $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то единственный корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ на интервале $(-\pi; 0)$ это $x = -\frac{2\pi}{3}$. Но при этом значении $x$ знаменатель дроби обращается в ноль, поэтому этот корень является посторонним. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

2. Если $a \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$, то единственный корень уравнения $\text{ctg}\,x = a$ на интервале $(-\pi; 0)$ не равен $-\frac{2\pi}{3}$. Знаменатель при этом корне не равен нулю, следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: если $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то корней нет; если $a \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$, то один корень.