Номер 34, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 34

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Применение ограниченности тригонометрических функций

Решите уравнение:

1) $\sin 3x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x$;

2) $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$;

3) $\sin^2 x + \sin^2 7x = 1$;

4) $\sin 9x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)$;

5) $\cos \frac{4x}{3} + \cos 3x = 2$.

1) $sin3x + sinx = \sqrt{2} sin2x$

Применим формулу суммы синусов для левой части уравнения: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2sin\frac{3x+x}{2}cos\frac{3x-x}{2} = \sqrt{2}sin2x$

$2sin2x \cdot cosx = \sqrt{2}sin2x$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2sin2x \cdot cosx - \sqrt{2}sin2x = 0$

$sin2x(2cosx - \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $sin2x = 0$

$2x = \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$

2) $2cosx - \sqrt{2} = 0$

$2cosx = \sqrt{2}$

$cosx = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$; $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $cos7x \cdot cos3x = cos4x$

Применим формулу произведения косинусов для левой части: $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta))$.

$\frac{1}{2}(cos(7x-3x) + cos(7x+3x)) = cos4x$

$\frac{1}{2}(cos4x + cos10x) = cos4x$

Умножим обе части на 2:

$cos4x + cos10x = 2cos4x$

$cos10x - cos4x = 0$

Применим формулу разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2sin\frac{10x+4x}{2}sin\frac{10x-4x}{2} = 0$

$-2sin7x \cdot sin3x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $sin7x = 0$

$7x = \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi k}{7}, k \in Z$

2) $sin3x = 0$

$3x = \pi n, n \in Z$

$x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{7}, k \in Z$; $x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

3) $sin^2x + sin^27x = 1$

Используем формулу понижения степени: $sin^2\alpha = \frac{1-cos2\alpha}{2}$.

$\frac{1-cos2x}{2} + \frac{1-cos(2 \cdot 7x)}{2} = 1$

$\frac{1-cos2x + 1-cos14x}{2} = 1$

$2 - cos2x - cos14x = 2$

$-cos2x - cos14x = 0$

$cos14x + cos2x = 0$

Применим формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2cos\frac{14x+2x}{2}cos\frac{14x-2x}{2} = 0$

$2cos8x \cdot cos6x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $cos8x = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in Z$

2) $cos6x = 0$

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in Z$; $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in Z$.

4) $sin9x = 2cos(\frac{3\pi}{2} + 3x)$

Применим формулу приведения для правой части: $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin\alpha$.

$sin9x = 2sin3x$

Используем формулу синуса тройного угла $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$. Пусть $\alpha = 3x$, тогда $3\alpha = 9x$.

$sin(3 \cdot 3x) = 2sin3x$

$3sin3x - 4sin^3(3x) = 2sin3x$

$sin3x - 4sin^3(3x) = 0$

Вынесем $sin3x$ за скобки:

$sin3x(1 - 4sin^2(3x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $sin3x = 0$

$3x = \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$

2) $1 - 4sin^2(3x) = 0$

$sin^2(3x) = \frac{1}{4}$

$sin(3x) = \pm\frac{1}{2}$

Это можно записать как $3x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

$x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$; $x = \pm\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.

5) $cos\frac{4x}{3} + cos3x = 2$

Область значений функции косинус - отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le cos\alpha \le 1$ для любого $\alpha$.

Сумма двух косинусов может быть равна 2 только в том случае, когда каждый из них равен своему максимальному значению, то есть 1.

Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} cos\frac{4x}{3} = 1 \\ cos3x = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы:

1) $cos\frac{4x}{3} = 1$

$\frac{4x}{3} = 2\pi k, k \in Z$

$4x = 6\pi k$

$x = \frac{6\pi k}{4} = \frac{3\pi k}{2}, k \in Z$

2) $cos3x = 1$

$3x = 2\pi n, n \in Z$

$x = \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$

Теперь найдем пересечение множеств решений. Для этого приравняем полученные выражения для $x$:

$\frac{3\pi k}{2} = \frac{2\pi n}{3}$

$\frac{3k}{2} = \frac{2n}{3}$

$9k = 4n$

Так как 9 и 4 взаимно простые числа, то для выполнения этого равенства в целых числах $k$ должно быть кратно 4, а $n$ - кратно 9.

Пусть $k = 4m$, где $m \in Z$. Тогда $9(4m) = 4n$, откуда $n = 9m$.

Подставим $k = 4m$ в первую серию решений:

$x = \frac{3\pi (4m)}{2} = 6\pi m, m \in Z$

Ответ: $x = 6\pi m, m \in Z$.