Номер 35, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 35

О равносильных переходах при решении тригонометрических уравнений

Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 4x}{1 + \cos 4x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0;$

3) $\cos x \sqrt{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0;$

4) $2\operatorname{tg} \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 5\operatorname{ctg} x - 2.$

1) Решим уравнение $\frac{\sin 4x}{1 + \cos 4x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 + \cos 4x \neq 0$.

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

Применив эту формулу для $\alpha = 4x$, получим, что левая часть уравнения равна $\tan(2x)$.

Исходное уравнение равносильно уравнению $\tan(2x) = 0$.

Область определения функции $\tan(2x)$ задается условием $\cos(2x) \neq 0$.

Проверим, что ОДЗ исходного уравнения совпадает с областью определения $\tan(2x)$.

Условие $1 + \cos 4x \neq 0$ можно преобразовать, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$1 + (2\cos^2(2x) - 1) \neq 0$

$2\cos^2(2x) \neq 0$

$\cos(2x) \neq 0$

Таким образом, ОДЗ совпадают, и переход к уравнению $\tan(2x)=0$ является равносильным.

Решаем уравнение:

$\tan(2x) = 0$

$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 2x + \sin 6x = 0, \\ \cos 2x + \cos 6x \neq 0. \end{cases}$

Применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

Тогда числитель дроби равен: $\sin 2x + \sin 6x = 2 \sin\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2 \sin 4x \cos 2x$.

А знаменатель: $\cos 2x + \cos 6x = 2 \cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} = 2 \cos 4x \cos 2x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2 \sin 4x \cos 2x}{2 \cos 4x \cos 2x} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases}$

Что то же самое, что и:

$\begin{cases} \tan 4x = 0, \\ \cos 2x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\tan 4x = 0 \implies 4x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим найденные значения $x$ во второе условие системы, чтобы исключить посторонние корни:

$\cos(2x) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi k}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi k}{2}\right) \neq 0$.

Значение $\cos\left(\frac{\pi k}{2}\right)$ равно нулю, когда $k$ — нечетное число ($k = 2n+1, n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, $k$ должно быть четным. Положим $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда решениями будут $x = \frac{\pi (2n)}{4} = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\cos x \sqrt{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:

$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0 \implies \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

1) $\cos x = 0$

2) $\sqrt{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $\cos x = 0$.

Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ $\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Если $k$ — четное, т.е. $k = 2n, n \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$. Условие $1 \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется.

Если $k$ — нечетное, т.е. $k = 2n+1, n \in \mathbb{Z}$, то $x = \frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1$. Условие $-1 \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ не выполняется, так как $-1 \approx -1$, а $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

Следовательно, из этого случая подходят только корни $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sqrt{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$.

Возведя обе части в квадрат, получим $\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Эти значения $x$ автоматически удовлетворяют ОДЗ ($\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Решениями уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются две серии корней:

$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi m = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $2\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 5\ctg x - 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ определен, если $\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \neq 0 \implies x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$\ctg x$ определен, если $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу тангенса суммы: $\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$.

$\tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg x + \tg(\frac{\pi}{4})}{1 - \tg x \cdot \tg(\frac{\pi}{4})} = \frac{\tg x + 1}{1 - \tg x}$.

Подставим это в исходное уравнение, заменив также $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$2\frac{\tg x + 1}{1 - \tg x} = 5\frac{1}{\tg x} - 2$.

Сделаем замену $t = \tg x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 1$ и $t \neq 0$.

$2\frac{t + 1}{1 - t} = \frac{5}{t} - 2$

$2\frac{t + 1}{1 - t} = \frac{5 - 2t}{t}$

Перемножим крест-накрест (допустимо, т.к. $t \neq 0$ и $t \neq 1$):

$2t(t + 1) = (1 - t)(5 - 2t)$

$2t^2 + 2t = 5 - 2t - 5t + 2t^2$

$2t^2 + 2t = 5 - 7t + 2t^2$

$2t = 5 - 7t$

$9t = 5$

$t = \frac{5}{9}$

Полученное значение $t = \frac{5}{9}$ удовлетворяет условиям $t \neq 1$ и $t \neq 0$.

Выполним обратную замену:

$\tg x = \frac{5}{9}$

$x = \arctan\left(\frac{5}{9}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{5}{9}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.