Номер 29, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $cos x = b$

1. Решите уравнение:

1) $cos \frac{8x}{5} = 0;$

2) $cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2};$

3) $cos \frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2};$

5) $6cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

2. Найдите все корни уравнения $cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

3. Определите количество корней уравнения $cos x = a$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Решите уравнение:

1)

Дано уравнение $\cos{\frac{8x}{5}} = 0$.

Это частный случай тригонометрического уравнения, решение которого имеет вид:
$\frac{8x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$, умножив обе части на $\frac{5}{8}$:
$x = \frac{5}{8} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$
$x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\cos{(4 - 3x)} = -\frac{1}{2}$.

Используя свойство чётности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, уравнение можно переписать в виде $\cos{(3x - 4)} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos a + 2\pi n$.
$3x - 4 = \pm \arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$3x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$3x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\cos{\frac{5\pi x}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение:
$\frac{5\pi x}{6} = \pm \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{6}$, то:
$\frac{5\pi x}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5\pi}$, чтобы выразить $x$:
$x = \frac{6}{5\pi} \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)$
$x = \pm \frac{6\pi}{30\pi} + \frac{12\pi n}{5\pi}$
$x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $\cos{\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции $y=\cos t$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Значение в правой части уравнения $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $\frac{\pi}{2} > 1$, то есть не принадлежит области значений косинуса, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5)

Дано уравнение $6\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} - 1 = 0$.

Сначала выразим $\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)}$:
$6\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} = 1$
$\cos{\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{6}$.

Теперь применим общую формулу для решения уравнения $\cos t = a$:
$4x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos{\frac{1}{6}} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos{\frac{1}{6}} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}\arccos{\frac{1}{6}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}\arccos{\frac{1}{6}} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2.

Требуется найти все корни уравнения $\cos{\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Шаг 1: Решение уравнения.
$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{3\pi}{4}$.
$2x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Получаем две серии корней:
1) $2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$.
2) $2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n \implies x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$.

Шаг 2: Отбор корней.
Найдем корни, принадлежащие интервалу $\left(\frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}\right)$. Для удобства сравнения приведем дроби к общему знаменателю 24: $\left(\frac{9\pi}{24}, \frac{15\pi}{24}\right)$.

Проверим первую серию корней $x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{7\pi}{24}$. $\frac{7\pi}{24} < \frac{9\pi}{24}$, корень не подходит.
При $n=1$, $x = \frac{7\pi}{24} + \pi = \frac{31\pi}{24}$. $\frac{31\pi}{24} > \frac{15\pi}{24}$, корень не подходит.

Проверим вторую серию корней $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$:
При $n=1$, $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi = \frac{-11\pi + 24\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$.
Проверим, удовлетворяет ли этот корень неравенству: $\frac{9\pi}{24} < \frac{13\pi}{24} < \frac{15\pi}{24}$. Неравенство верное.
При $n=2$, $x = -\frac{11\pi}{24} + 2\pi = \frac{37\pi}{24}$. $\frac{37\pi}{24} > \frac{15\pi}{24}$, корень не подходит.

Таким образом, единственный корень, удовлетворяющий условию, это $\frac{13\pi}{24}$.

Ответ: $\frac{13\pi}{24}$.

3.

Нужно определить количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ в зависимости от параметра $a$.

Количество корней равно числу точек пересечения графика функции $y = \cos x$ и горизонтальной прямой $y=a$ на данном промежутке.

На промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ функция $y = \cos x$ является строго монотонно убывающей. Найдем ее область значений на этом отрезке. Наибольшее значение достигается в левой точке, а наименьшее — в правой:
$y_{max} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
$y_{min} = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, область значений функции на промежутке $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}\right]$ — это отрезок $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right]$.

Так как функция на этом отрезке строго монотонна, любое значение из своей области значений она принимает ровно один раз. Отсюда делаем вывод о количестве корней:

1. Если значение параметра $a$ попадает в область значений функции, т.е. $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересечет график $y=\cos x$ в одной точке на данном промежутке. Уравнение будет иметь один корень.
2. Если значение параметра $a$ находится вне этой области, т.е. $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$, то пересечений с графиком на данном промежутке не будет. Уравнение не будет иметь корней.

Ответ:
при $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > \frac{1}{2}$ — корней нет;
при $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ — один корень.