Номер 23, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \text{tg}\,x$ и $y = \text{ctg}\,x$

1. На промежутке $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \text{tg}\,x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \text{tg}\,x$.

2. Сравните:

1) $\text{tg}\,42^\circ$ и $\text{ctg}\,42^\circ$;

2) $\text{tg}\,61^\circ$ и $\text{ctg}\,32^\circ$;

3) $\text{tg}\,51^\circ$ и $\cos\,6^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = \text{tg}\,2|x|$;

3) $y = \text{ctg}\,x + |\text{ctg}\,x|$.

1) нули функции y = tg x;

Нули функции $y = \text{tg}\,x$ находятся в точках, где $\text{tg}\,x = 0$. Это эквивалентно уравнению $\sin x = 0$, решения которого имеют вид $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число). Теперь найдем, какие из этих значений попадают в заданный промежуток $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$. Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{\pi}{6}$.
• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{6} \le 0 \le \frac{5\pi}{6}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $\pi > \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на данном промежутке есть только один нуль функции.

Ответ: $x=0$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции y = tg x.

Область определения функции $y = \text{tg}\,x$ - это все действительные числа, кроме тех, в которых $\cos x = 0$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Найдем, какие из этих значений попадают в заданный промежуток $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$. Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6}$.
• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{5\pi}{6}$ (поскольку $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$).
• При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{3\pi}{2} > \frac{5\pi}{6}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только одно число, не принадлежащее области определения тангенса.

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

1) tg 42° и ctg 42°

Угол 42° находится в первой четверти ($0° < 42° < 90°$). В этой четверти значения тангенса и котангенса положительны. Известно, что $\text{tg}\,45° = 1$. Функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает на интервале $(0°, 90°)$. Поскольку $42° < 45°$, то $\text{tg}\,42° < \text{tg}\,45°$, то есть $0 < \text{tg}\,42° < 1$. Используем свойство $\text{ctg}\,x = \frac{1}{\text{tg}\,x}$. Тогда $\text{ctg}\,42° = \frac{1}{\text{tg}\,42°}$. Так как $0 < \text{tg}\,42° < 1$, то обратное ему число $\frac{1}{\text{tg}\,42°}$ будет больше 1. Следовательно, $\text{ctg}\,42° > 1$. Сравнивая, получаем: $\text{tg}\,42° < 1 < \text{ctg}\,42°$.

Ответ: $\text{tg}\,42° < \text{ctg}\,42°$.

2) tg 61° и ctg 32°

Используем формулу приведения: $\text{ctg}\,\alpha = \text{tg}\,(90° - \alpha)$. Применим ее к $\text{ctg}\,32°$: $\text{ctg}\,32° = \text{tg}\,(90° - 32°) = \text{tg}\,58°$. Теперь задача сводится к сравнению $\text{tg}\,61°$ и $\text{tg}\,58°$. Оба угла, 61° и 58°, находятся в первой четверти, где функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает. Поскольку $61° > 58°$, то $\text{tg}\,61° > \text{tg}\,58°$. Следовательно, $\text{tg}\,61° > \text{ctg}\,32°$.

Ответ: $\text{tg}\,61° > \text{ctg}\,32°$.

3) tg 51° и cos 6°

Рассмотрим каждое значение по отдельности. Угол 51° находится в первой четверти. Так как $51° > 45°$, а функция $y=\text{tg}\,x$ возрастает в первой четверти, то $\text{tg}\,51° > \text{tg}\,45° = 1$. Угол 6° также находится в первой четверти. Функция $y=\cos x$ убывает на интервале $(0°, 90°)$. Так как $0° < 6° < 90°$, то $\cos 90° < \cos 6° < \cos 0°$, что означает $0 < \cos 6° < 1$. Сравнивая полученные оценки, имеем: $\text{tg}\,51° > 1$ и $\cos 6° < 1$. Отсюда следует, что $\text{tg}\,51° > \cos 6°$.

Ответ: $\text{tg}\,51° > \cos 6°$.

1) $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, основываясь на графике базовой функции $y = \text{ctg}\,x$:

1. $y = \text{ctg}\,x$: Стандартный график котангенса с вертикальными асимптотами $x = \pi n$ и нулями в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Сдвиг графика $y = \text{ctg}\,x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты теперь находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, а нули — в $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
3. $y = 2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Растяжение предыдущего графика вдоль оси OY в 2 раза. Каждая ордината точки графика умножается на 2.
4. $y = -2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: Симметричное отражение графика $y = 2\text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ относительно оси OX. Убывающая функция становится возрастающей на каждом интервале области определения.

Свойства итогового графика:

• Период: $T = \pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Функция возрастает на каждом интервале своей области определения, например, на $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$.
• Контрольные точки на одном из периодов: $\left(\frac{\pi}{2}, -2\right)$, $\left(\pi, 2\right)$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg}\,x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{4}$, растяжением по вертикали в 2 раза и последующим отражением относительно оси OX.

2) $y = \text{tg}\,2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \text{tg}\,2|-x| = \text{tg}\,2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Поэтому можно построить график для $x \ge 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси OY.

Шаг 1: Построение для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \text{tg}\,(2x)$. Это график функции $y = \text{tg}\,x$, сжатый по горизонтали в 2 раза.

• Период этой функции $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ это $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \dots$
• Нули функции: $2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ это $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$

Шаг 2: Построение для $x < 0$.
Отражаем часть графика, построенную для $x \ge 0$, симметрично относительно оси OY. В результате, например, асимптота $x = \frac{\pi}{4}$ отразится в асимптоту $x = -\frac{\pi}{4}$. Ветвь графика на интервале $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, уходящая в $+\infty$, отразится в ветвь на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$, также уходящую в $+\infty$ при приближении к асимптоте. В точке $x=0$ образуется "излом" (острый минимум).

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=\text{tg}\,(2x)$ (тангенс, сжатый в 2 раза по горизонтали). Часть графика для $x < 0$ получается отражением части для $x \ge 0$ относительно оси OY.

3) $y = \text{ctg}\,x + |\text{ctg}\,x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\text{ctg}\,x \ge 0$.
Это происходит, когда $x$ находится в I или III координатных четвертях, то есть на интервалах вида $\left(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$ (с учетом области определения котангенса). В этом случае $|\text{ctg}\,x| = \text{ctg}\,x$, и функция принимает вид: $y = \text{ctg}\,x + \text{ctg}\,x = 2\text{ctg}\,x$.

Случай 2: $\text{ctg}\,x < 0$.
Это происходит, когда $x$ находится во II или IV координатных четвертях, то есть на интервалах вида $\left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\text{ctg}\,x| = -\text{ctg}\,x$, и функция принимает вид: $y = \text{ctg}\,x - \text{ctg}\,x = 0$.

Таким образом, график функции состоит из следующих частей:

• На интервалах, где котангенс отрицателен (например, на $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, и т.д.), график функции - это отрезок оси OX ($y=0$).
• На интервалах, где котангенс положителен (например, на $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$, $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$, и т.д.), график совпадает с графиком функции $y = 2\text{ctg}\,x$. Это график котангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси OY.

Вертикальные асимптоты графика находятся там же, где и у $y = \text{ctg}\,x$, то есть в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей графика $y=2\text{ctg}\,x$ на интервалах, где $\text{ctg}\,x > 0$, и отрезков оси абсцисс на интервалах, где $\text{ctg}\,x \le 0$.