Номер 26, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$; 3) $tg(\alpha - \pi)$;

2) $ctg(\pi + \alpha)$; 4) $cos^2(\pi - \alpha)$.

2. Найдите значение выражения

$sin \frac{7\pi}{4} cos \frac{7\pi}{6} tg(-\frac{5\pi}{3}) ctg \frac{4\pi}{3}$.

3. Упростите выражение:

1) $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\pi + \alpha) + ctg(2\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$;

2) $\frac{sin(\pi - \beta)cos(\pi + \beta)tg(\pi - \beta)}{sin(\frac{3\pi}{2} - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)cos(\frac{\pi}{2} + \beta)}$.

4. Упростите выражение

$tg 15^{\circ} + tg 25^{\circ} + tg 35^{\circ} + ... + tg 165^{\circ}$.

1.

1) Используем формулу приведения для $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, тригонометрическая функция синус меняется на кофункцию, то есть косинус.
$sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$
Ответ: $-cos(\alpha)$

2) Используем формулу приведения для $ctg(\pi + \alpha)$. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле присутствует $\pi$, функция не меняется.
$ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$
Ответ: $ctg(\alpha)$

3) Используем свойство нечетности и периодичности тангенса.
Способ 1: $tg(\alpha - \pi) = -tg(\pi - \alpha)$. Угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен, поэтому $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$. Следовательно, $tg(\alpha - \pi) = -(-tg(\alpha)) = tg(\alpha)$.
Способ 2: Период тангенса равен $\pi$. $tg(\alpha - \pi) = tg(\alpha - \pi + \pi) = tg(\alpha)$.
Ответ: $tg(\alpha)$

4) Для выражения $cos^2(\pi - \alpha)$ сначала упростим $cos(\pi - \alpha)$. Угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется.
$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$
Теперь возведем в квадрат:
$cos^2(\pi - \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$
Ответ: $cos^2(\alpha)$

2. Найдем значение каждого множителя в выражении $sin\frac{7\pi}{4} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg(-\frac{5\pi}{3}) \cdot ctg\frac{4\pi}{3}$, используя формулы приведения.

$sin\frac{7\pi}{4} = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(-\frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\frac{7\pi}{6} = cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg(-\frac{5\pi}{3}) = -tg(\frac{5\pi}{3}) = -tg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -tg(-\frac{\pi}{3}) = -(-tg(\frac{\pi}{3})) = \sqrt{3}$

$ctg\frac{4\pi}{3} = ctg(\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$sin\frac{7\pi}{4} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg(-\frac{5\pi}{3}) \cdot ctg\frac{4\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{3}{3} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

3.

1) Упростим каждое слагаемое в выражении $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + cos(\pi + \alpha) + ctg(2\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$:

• $sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$ (II четверть, $sin > 0$, функция меняется)
• $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$ (III четверть, $cos < 0$, функция не меняется)
• $ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (IV четверть, $ctg < 0$, функция не меняется)
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, $tg > 0$, функция меняется)

Подставим упрощенные выражения в сумму:

$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = cos(\alpha) - cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$

Ответ: $0$

2) Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{sin(\pi - \beta)cos(\pi + \beta)tg(\pi - \beta)}{sin(\frac{3\pi}{2} - \beta)ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta)cos(\frac{\pi}{2} + \beta)}$.

Упростим числитель:
$sin(\pi - \beta) = sin(\beta)$
$cos(\pi + \beta) = -cos(\beta)$
$tg(\pi - \beta) = -tg(\beta)$
Произведение в числителе: $sin(\beta) \cdot (-cos(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) = sin(\beta)cos(\beta)tg(\beta) = sin(\beta)cos(\beta)\frac{sin(\beta)}{cos(\beta)} = sin^2(\beta)$

Упростим знаменатель:
$sin(\frac{3\pi}{2} - \beta) = -cos(\beta)$
$ctg(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -tg(\beta)$
$cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -sin(\beta)$
Произведение в знаменателе: $(-cos(\beta)) \cdot (-tg(\beta)) \cdot (-sin(\beta)) = -cos(\beta)tg(\beta)sin(\beta) = -cos(\beta)\frac{sin(\beta)}{cos(\beta)}sin(\beta) = -sin^2(\beta)$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{sin^2(\beta)}{-sin^2(\beta)} = -1$

Ответ: $-1$

4. Рассмотрим сумму $S = tg 15^\circ + tg 25^\circ + tg 35^\circ + ... + tg 165^\circ$.

Углы в данной сумме образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 15^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество слагаемых:
$165^\circ = 15^\circ + (n-1)10^\circ \implies 150 = 10(n-1) \implies n = 16$.

Используем формулу приведения $tg(180^\circ - x) = -tg(x)$. Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Всего будет $16/2=8$ пар.

$tg 15^\circ + tg 165^\circ = tg 15^\circ + tg(180^\circ - 15^\circ) = tg 15^\circ - tg 15^\circ = 0$

$tg 25^\circ + tg 155^\circ = tg 25^\circ + tg(180^\circ - 25^\circ) = tg 25^\circ - tg 25^\circ = 0$

... и так далее для всех пар.

$tg 85^\circ + tg 95^\circ = tg 85^\circ + tg(180^\circ - 85^\circ) = tg 85^\circ - tg 85^\circ = 0$

Так как сумма каждой пары слагаемых равна нулю, то и вся сумма равна нулю.

Ответ: $0$