Номер 6, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций

с помощью геометрических преобразований

1) $y = \frac{1}{2x + 1}$;

2) $y = \left|\frac{1}{2x + 1}\right|$.

1) $y = \sqrt{1 - 3x}$;

2) $y = \sqrt{1 - 3|x|}$.

1) Построить график функции $y = \frac{1}{2x+1}$.

График данной функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{2(x+0.5)}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.
2. Строим график функции $y = \frac{1}{2x}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{x}$ путем сжатия к оси OY в 2 раза. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(\frac{x_0}{2}, y_0)$.
3. Строим график функции $y = \frac{1}{2(x+0.5)}$. Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2x}$ путем сдвига влево вдоль оси OX на 0.5 единицы.

Свойства графика функции $y = \frac{1}{2x+1}$:

• Область определения: $2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0.5$. То есть, $D(y) = (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = -0.5$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.
• Точки для построения:
  • Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
  • При $x=-1$, $y = \frac{1}{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$.
  • При $x=0.5$, $y = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(0.5, 0.5)$.
  • При $x=-1.5$, $y = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(-1.5, -0.5)$.

График представляет собой гиперболу с асимптотами $x=-0.5$ и $y=0$. Одна ветвь расположена в области $x > -0.5$ и $y > 0$, другая — в области $x < -0.5$ и $y < 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2x+1}$ является гиперболой $y = \frac{1}{x}$, сжатой в 2 раза к оси OY и сдвинутой на 0.5 влево по оси OX. Асимптоты: $x=-0.5$, $y=0$.

2) Построить график функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$.

График функции $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше оси OX (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси OX (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси OX.

1. Сначала строим график функции $y = \frac{1}{2x+1}$, как это было сделано в предыдущем пункте.
2. Часть графика, для которой $y \ge 0$ (то есть ветвь при $x > -0.5$), оставляем на месте.
3. Часть графика, для которой $y < 0$ (то есть ветвь при $x < -0.5$), отражаем симметрично относительно оси OX.

Свойства графика функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$:

• Область определения: $x \neq -0.5$.
• Область значений: $y \ge 0$.
• Вертикальная асимптота: $x = -0.5$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
• Все точки графика лежат в верхней полуплоскости. Ветвь, которая была в III четверти, теперь находится во II четверти.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{1}{2x+1}\right|$ получается из графика $y = \frac{1}{2x+1}$ путем отражения его отрицательной части (при $x < -0.5$) относительно оси OX.

1) Построить график функции $y = \sqrt{1-3x}$.

График данной функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Запишем функцию в виде $y = \sqrt{-3(x - \frac{1}{3})}$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, выходящая из точки (0,0).
2. Строим график $y = \sqrt{-x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{x}$ симметричным отражением относительно оси OY.
3. Строим график $y = \sqrt{-3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-x}$ сжатием к оси OY в 3 раза.
4. Строим график $y = \sqrt{-3(x - \frac{1}{3})} = \sqrt{1-3x}$. Он получается из графика $y = \sqrt{-3x}$ сдвигом вправо вдоль оси OX на $\frac{1}{3}$ единицы.

Свойства графика функции $y = \sqrt{1-3x}$:

• Область определения: $1-3x \ge 0 \Rightarrow 3x \le 1 \Rightarrow x \le \frac{1}{3}$. То есть, $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}]$.
• Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
• Ключевые точки:
  • Начало графика: $(\frac{1}{3}, 0)$.
  • Пересечение с осью OY: при $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка $(0, 1)$.
  • При $x=-1$, $y=\sqrt{1-3(-1)}=\sqrt{4}=2$. Точка $(-1, 2)$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(\frac{1}{3}, 0)$ и идущую влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1-3x}$ — это ветвь параболы, симметричная ветви параболы $y=\sqrt{3x}$ относительно прямой $x=\frac{1}{3}$.

2) Построить график функции $y = \sqrt{1-3|x|}$.

График функции $y = f(|x|)$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика при $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика при $x < 0$ удаляется. Затем оставшаяся часть ($x \ge 0$) отражается симметрично относительно оси OY.

1. Строим график функции $y = \sqrt{1-3x}$ для $x \ge 0$. Область определения $y=\sqrt{1-3x}$ это $x \le \frac{1}{3}$. Таким образом, мы рассматриваем часть этого графика на промежутке $[0, \frac{1}{3}]$. Это дуга, соединяющая точки $(0,1)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.
2. Отражаем эту дугу симметрично относительно оси OY. Она соединит точки $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(0,1)$.

Свойства графика функции $y = \sqrt{1-3|x|}$:

• Область определения: $1-3|x| \ge 0 \Rightarrow 3|x| \le 1 \Rightarrow |x| \le \frac{1}{3}$. То есть, $D(y) = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.
• Область значений: Максимальное значение при $x=0$ равно $y=1$. Минимальное при $x=\pm\frac{1}{3}$ равно $y=0$. $E(y) = [0, 1]$.
• Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

График представляет собой арку, симметричную относительно оси OY, с концами в точках $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$ и вершиной в точке $(0,1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{1-3|x|}$ — это симметричная относительно оси OY арка, определенная на отрезке $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|4|x|-3| = a(x-2)$ имеет три корня?

Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |4|x|-3|$ и $y = a(x-2)$.

1. Построение графика функции $y = |4|x|-3|$.

Построение выполним в несколько этапов:

1. $y = 4x-3$: прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3/4, 0)$.
2. $y = 4|x|-3$: график, симметричный относительно оси OY. Для $x \ge 0$ совпадает с $y=4x-3$. Для $x < 0$ является отражением части для $x > 0$. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(0, -3)$ и пересечениями с осью OX в точках $(-3/4, 0)$ и $(3/4, 0)$.
3. $y = |4|x|-3|$: часть графика $y = 4|x|-3$, которая находится ниже оси OX (от $x=-3/4$ до $x=3/4$), отражается симметрично относительно оси OX. Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Итоговый график имеет W-образную форму с вершинами в точках $A(-3/4, 0)$, $B(0, 3)$ и $C(3/4, 0)$.

2. Анализ графика функции $y = a(x-2)$.

Это семейство прямых, проходящих через точку $P(2, 0)$, где $a$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой).

3. Поиск количества точек пересечения.

Будем мысленно вращать прямую вокруг точки $P(2, 0)$ и считать количество точек пересечения с W-образным графиком.

• При $a > 0$ прямая $y=a(x-2)$ положительна только при $x > 2$. График $y = |4|x|-3|$ при $x > 2$ представляет собой луч $y=4x-3$. Найдем точки их пересечения: $a(x-2) = 4x-3 \Rightarrow (a-4)x = 2a-3$.
  • Если $a=4$, решений нет (прямые параллельны). 0 корней.
  • Если $a \ne 4$, $x=\frac{2a-3}{a-4}$. Пересечение будет при $x>2$, что эквивалентно $\frac{2a-3}{a-4} > 2 \Rightarrow \frac{5}{a-4} > 0 \Rightarrow a > 4$. При $a>4$ есть 1 корень. При $0 < a < 4$ корней нет.
• При $a=0$ прямая $y=0$ (ось OX) пересекает график в двух точках: $A(-3/4, 0)$ и $C(3/4, 0)$. 2 корня.
• При $a < 0$ прямая проходит через I, II и IV квадранты. Возможны несколько точек пересечения. Количество корней будет меняться, когда прямая проходит через одну из вершин W-графика.
• Критический случай — прямая проходит через вершину $B(0, 3)$. Найдем соответствующее значение $a$. Прямая проходит через $P(2, 0)$ и $B(0, 3)$: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{0 - 2} = -\frac{3}{2}$. При $a = -3/2$ проверим количество пересечений.
  • Прямая проходит через точку $B(0,3)$, это один корень.
  • Пересечение с лучом $y=4x-3$ ($x \ge 3/4$): $-\frac{3}{2}(x-2) = 4x-3 \Rightarrow -3(x-2) = 8x-6 \Rightarrow -3x+6=8x-6 \Rightarrow 11x=12 \Rightarrow x=12/11$. Так как $12/11 > 3/4$, это второй корень.
  • Пересечение с лучом $y=-4x-3$ ($x \le -3/4$): $-\frac{3}{2}(x-2) = -4x-3 \Rightarrow -3x+6=-8x-6 \Rightarrow 5x=-12 \Rightarrow x=-12/5 = -2.4$. Так как $-2.4 \le -3/4$, это третий корень.
  Таким образом, при $a=-3/2$ уравнение имеет ровно три корня.
• Если вращать прямую дальше (при $-3/2 < a < 0$), она будет пересекать W-график в четырех точках. Когда прямая опустится до положения оси OX ($a=0$), станет 2 точки пересечения.

Единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет три корня, это когда прямая $y=a(x-2)$ проходит через точку $(0,3)$.

Ответ: $a = -1.5$.