Номер 12, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Свойства корня n-й степени

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} $

2) $ \sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{3^{11} \cdot 7^3} $

3) $ \frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{80}} $

2. Упростите выражение:

1) $ \sqrt[7]{\sqrt[6]{m}} $

2) $ \sqrt[27]{b^{18}} $

3) $ \sqrt[22]{c^{10}} $

4) $ \sqrt[5]{3 \sqrt[3]{7}} $

5) $ \sqrt[12]{a^5 \sqrt[5]{a^7}} $

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $ \sqrt[3]{56} $

2) $ \sqrt[4]{112} $

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $ -5\sqrt[3]{2} $

2) $ -10\sqrt[4]{0,123} $

5. Сократите дробь:

1) $ \frac{\sqrt[5]{t} - 16}{\sqrt[10]{t} + 4} $

2) $ \frac{\sqrt[5]{x^4} + x}{\sqrt[5]{x^3} + \sqrt[5]{x^2}} $

3) $ \frac{x - \sqrt{3x} + 3}{x\sqrt{x} + 3\sqrt{3}} $

1. Найдите значение выражения:

1) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: $3$.

2) Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$\sqrt[5]{3^4 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{3^{11} \cdot 7^3} = \sqrt[5]{(3^4 \cdot 7^2) \cdot (3^{11} \cdot 7^3)} = \sqrt[5]{3^{4+11} \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{3^{15} \cdot 7^5}$.

Далее используем свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$:

$\sqrt[5]{3^{15}} \cdot \sqrt[5]{7^5} = 3^{\frac{15}{5}} \cdot 7^{\frac{5}{5}} = 3^3 \cdot 7^1 = 27 \cdot 7 = 189$.

Ответ: $189$.

3) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[4]{405}}{\sqrt[4]{80}} = \sqrt[4]{\frac{405}{80}}$.

Сократим дробь под корнем: $\frac{405}{80} = \frac{81 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{81}{16}$.

$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{2})^4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

2. Упростите выражение:

1) Используем свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$:

$\sqrt[7]{\sqrt[6]{m}} = \sqrt[7 \cdot 6]{m} = \sqrt[42]{m}$.

Ответ: $\sqrt[42]{m}$.

2) Используем свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$ и сократим показатель степени:

$\sqrt[27]{b^{18}} = b^{\frac{18}{27}} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{b^2}$.

3) Аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt[22]{c^{10}} = c^{\frac{10}{22}} = c^{\frac{5}{11}} = \sqrt[11]{c^5}$.

Ответ: $\sqrt[11]{c^5}$.

4) Внесем множитель 3 под внутренний корень, представив его как $\sqrt[3]{3^3}$:

$\sqrt[5]{3\sqrt[3]{7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{27 \cdot 7}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{189}}$.

Теперь используем свойство корня из корня:

$\sqrt[5 \cdot 3]{189} = \sqrt[15]{189}$.

Ответ: $\sqrt[15]{189}$.

5) Внесем множитель $a^5$ под внутренний корень (квадратный), представив его как $\sqrt{(a^5)^2} = \sqrt{a^{10}}$:

$\sqrt[12]{a^5\sqrt{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{10}} \cdot \sqrt{a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{10} \cdot a^7}} = \sqrt[12]{\sqrt{a^{17}}}$.

Используем свойство корня из корня:

$\sqrt[12 \cdot 2]{a^{17}} = \sqrt[24]{a^{17}}$.

Ответ: $\sqrt[24]{a^{17}}$.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа:

$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.

$\sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{7}$.

2) Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был четвертой степенью целого числа:

$112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7$.

$\sqrt[4]{112} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{7} = 2\sqrt[4]{7}$.

Ответ: $2\sqrt[4]{7}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) Чтобы внести положительный множитель под знак корня n-ой степени, нужно возвести его в n-ую степень. Знак минус оставляем перед корнем.

$-5\sqrt[3]{2} = -\sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = -\sqrt[3]{125 \cdot 2} = -\sqrt[3]{250}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{250}$.

2) Аналогично предыдущему пункту:

$-10\sqrt[4]{0.123} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0.123} = -\sqrt[4]{10000 \cdot 0.123} = -\sqrt[4]{1230}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{1230}$.

5. Сократите дробь:

1) Заметим, что $\sqrt[5]{t} = (\sqrt[10]{t})^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$\frac{\sqrt[5]{t}-16}{\sqrt[10]{t}+4} = \frac{(\sqrt[10]{t})^2 - 4^2}{\sqrt[10]{t}+4} = \frac{(\sqrt[10]{t}-4)(\sqrt[10]{t}+4)}{\sqrt[10]{t}+4}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt[10]{t}+4)$:

$\sqrt[10]{t}-4$.

Ответ: $\sqrt[10]{t}-4$.

2) Представим $x$ в числителе как $\sqrt[5]{x^5}$ и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\sqrt[5]{x^4}+x}{\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}} = \frac{\sqrt[5]{x^4}+\sqrt[5]{x^5}}{\sqrt[5]{x^2}+\sqrt[5]{x^3}} = \frac{\sqrt[5]{x^4}(1+\sqrt[5]{x})}{\sqrt[5]{x^2}(1+\sqrt[5]{x})}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(1+\sqrt[5]{x})$:

$\frac{\sqrt[5]{x^4}}{\sqrt[5]{x^2}} = \sqrt[5]{\frac{x^4}{x^2}} = \sqrt[5]{x^2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{x^2}$.

3) Знаменатель $x\sqrt{x}+3\sqrt{3}$ можно представить как сумму кубов: $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{3})^3$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x\sqrt{x}+3\sqrt{3} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{3})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{3})(x - \sqrt{3x} + 3)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{x-\sqrt{3x}+3}{(\sqrt{x}+\sqrt{3})(x - \sqrt{3x} + 3)}$.

Сокращаем дробь на общий множитель $(x - \sqrt{3x} + 3)$:

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}$.