Номер 17, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 3} > \sqrt{9 - x}$;

2) $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} < x - 2$;

3) $\sqrt{x + 8} > x - 4$;

4) $(4 - 3x)\sqrt{x + 1} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство

$a\sqrt{x + 2} < 1$.

1) Решим неравенство $\sqrt{2x - 3} > \sqrt{9 - x}$.
Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неотрицательны в области определения:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \\ (\sqrt{2x - 3})^2 > (\sqrt{9 - x})^2 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \ge 3 \\ x \le 9 \\ 2x - 3 > 9 - x \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 9 \\ 3x > 12 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 9 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих трех условий является промежуток $(4, 9]$.
Ответ: $(4, 9]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} < x - 2$.
Данное неравенство типа $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 - 7x + 4 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ 3x^2 - 7x + 4 < (x - 2)^2 \end{cases}$
Решим каждое неравенство системы:
1. $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$. Корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.
2. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3. $3x^2 - 7x + 4 < x^2 - 4x + 4 \implies 2x^2 - 3x < 0 \implies x(2x - 3) < 0$. Корни $x=0$ и $x=\frac{3}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $x \in (0, \frac{3}{2})$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)) \cap (2, \infty) \cap (0, \frac{3}{2})$.
Так как интервалы $(2, \infty)$ и $(0, \frac{3}{2})$ не пересекаются, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x + 8} > x - 4$.
Данное неравенство типа $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система (когда правая часть отрицательна):
$\begin{cases} x + 8 \ge 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x < 4 \end{cases} \implies x \in [-8, 4)$.
Вторая система (когда правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ x + 8 > (x - 4)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x + 8 > x^2 - 8x + 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x^2 - 9x + 8 < 0 \end{cases}$.
Корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$ это $x_1=1, x_2=8$. Неравенство $x^2 - 9x + 8 < 0$ выполняется при $x \in (1, 8)$.
Решение второй системы: $\begin{cases} x \ge 4 \\ x \in (1, 8) \end{cases} \implies x \in [4, 8)$.
Объединяем решения обеих систем: $[-8, 4) \cup [4, 8) = [-8, 8)$.
Ответ: $[-8, 8)$.

4) Решим неравенство $(4 - 3x)\sqrt{x + 1} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Поскольку $\sqrt{x + 1} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:
1. $\sqrt{x + 1} = 0$, что дает $x = -1$. Это значение входит в ОДЗ.
2. $\sqrt{x + 1} > 0$ (т.е. $x > -1$) и при этом множитель $4 - 3x \le 0$.
Решим $4 - 3x \le 0 \implies 4 \le 3x \implies x \ge \frac{4}{3}$.
Пересекая с условием $x > -1$, получаем $x \ge \frac{4}{3}$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x = -1$ и $x \ge \frac{4}{3}$.
Ответ: $\{ -1 \} \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

2. Решим неравенство $a\sqrt{x + 2} < 1$ для каждого значения параметра $a$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$:
1. Если $a > 0$.
Разделим обе части неравенства на $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$\sqrt{x + 2} < \frac{1}{a}$.
Так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат:
$x + 2 < (\frac{1}{a})^2 \implies x + 2 < \frac{1}{a^2} \implies x < \frac{1}{a^2} - 2$.
Учитывая ОДЗ $x \ge -2$, получаем решение: $-2 \le x < \frac{1}{a^2} - 2$.
2. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x + 2} < 1$, то есть $0 < 1$.
Это верное неравенство для всех $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \ge -2$.
3. Если $a < 0$.
Разделим обе части неравенства на $a < 0$, знак неравенства изменится на противоположный:
$\sqrt{x + 2} > \frac{1}{a}$.
Левая часть $\sqrt{x + 2}$ всегда неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть $\frac{1}{a}$ отрицательна, так как $a < 0$.
Неравенство "неотрицательное число > отрицательное число" верно для всех $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \ge -2$.
Ответ:
если $a \le 0$, то $x \in [-2, \infty)$;
если $a > 0$, то $x \in [-2, \frac{1}{a^2} - 2)$.