Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Иррациональные неравенства

1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 3} > \sqrt{9 - x}$;

2) $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} < x - 2$;

3) $\sqrt{x + 8} > x - 4$;

4) $(4 - 3x)\sqrt{x + 1} \le 0$.

2. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство

$a\sqrt{x + 2} < 1$.

1) Решим неравенство $\sqrt{2x - 3} > \sqrt{9 - x}$.
Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как обе части неотрицательны в области определения:
$\begin{cases} 2x - 3 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \\ (\sqrt{2x - 3})^2 > (\sqrt{9 - x})^2 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \ge 3 \\ x \le 9 \\ 2x - 3 > 9 - x \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 9 \\ 3x > 12 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 9 \\ x > 4 \end{cases}$
Пересечением этих трех условий является промежуток $(4, 9]$.
Ответ: $(4, 9]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{3x^2 - 7x + 4} < x - 2$.
Данное неравенство типа $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 - 7x + 4 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ 3x^2 - 7x + 4 < (x - 2)^2 \end{cases}$
Решим каждое неравенство системы:
1. $3x^2 - 7x + 4 \ge 0$. Корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{4}{3}$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.
2. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3. $3x^2 - 7x + 4 < x^2 - 4x + 4 \implies 2x^2 - 3x < 0 \implies x(2x - 3) < 0$. Корни $x=0$ и $x=\frac{3}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $x \in (0, \frac{3}{2})$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, 1] \cup [\frac{4}{3}, \infty)) \cap (2, \infty) \cap (0, \frac{3}{2})$.
Так как интервалы $(2, \infty)$ и $(0, \frac{3}{2})$ не пересекаются, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x + 8} > x - 4$.
Данное неравенство типа $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Первая система (когда правая часть отрицательна):
$\begin{cases} x + 8 \ge 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x < 4 \end{cases} \implies x \in [-8, 4)$.
Вторая система (когда правая часть неотрицательна):
$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ x + 8 > (x - 4)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x + 8 > x^2 - 8x + 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x^2 - 9x + 8 < 0 \end{cases}$.
Корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$ это $x_1=1, x_2=8$. Неравенство $x^2 - 9x + 8 < 0$ выполняется при $x \in (1, 8)$.
Решение второй системы: $\begin{cases} x \ge 4 \\ x \in (1, 8) \end{cases} \implies x \in [4, 8)$.
Объединяем решения обеих систем: $[-8, 4) \cup [4, 8) = [-8, 8)$.
Ответ: $[-8, 8)$.

4) Решим неравенство $(4 - 3x)\sqrt{x + 1} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Поскольку $\sqrt{x + 1} \ge 0$ при всех $x$ из ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:
1. $\sqrt{x + 1} = 0$, что дает $x = -1$. Это значение входит в ОДЗ.
2. $\sqrt{x + 1} > 0$ (т.е. $x > -1$) и при этом множитель $4 - 3x \le 0$.
Решим $4 - 3x \le 0 \implies 4 \le 3x \implies x \ge \frac{4}{3}$.
Пересекая с условием $x > -1$, получаем $x \ge \frac{4}{3}$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем $x = -1$ и $x \ge \frac{4}{3}$.
Ответ: $\{ -1 \} \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.

2. Решим неравенство $a\sqrt{x + 2} < 1$ для каждого значения параметра $a$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$:
1. Если $a > 0$.
Разделим обе части неравенства на $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$\sqrt{x + 2} < \frac{1}{a}$.
Так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат:
$x + 2 < (\frac{1}{a})^2 \implies x + 2 < \frac{1}{a^2} \implies x < \frac{1}{a^2} - 2$.
Учитывая ОДЗ $x \ge -2$, получаем решение: $-2 \le x < \frac{1}{a^2} - 2$.
2. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot \sqrt{x + 2} < 1$, то есть $0 < 1$.
Это верное неравенство для всех $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \ge -2$.
3. Если $a < 0$.
Разделим обе части неравенства на $a < 0$, знак неравенства изменится на противоположный:
$\sqrt{x + 2} > \frac{1}{a}$.
Левая часть $\sqrt{x + 2}$ всегда неотрицательна ($\ge 0$). Правая часть $\frac{1}{a}$ отрицательна, так как $a < 0$.
Неравенство "неотрицательное число > отрицательное число" верно для всех $x$ из ОДЗ.
Решение: $x \ge -2$.
Ответ:
если $a \le 0$, то $x \in [-2, \infty)$;
если $a > 0$, то $x \in [-2, \frac{1}{a^2} - 2)$.

Самостоятельная работа № 18

Радианное измерение углов

1. Найдите радианную меру угла, равного:

1) $48^\circ$; 2) $315^\circ$.

2. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) $\frac{\pi}{18}$; 2) $1\frac{4}{5}\pi$.

3. В какой координатной четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $149^\circ$; 3) $-\frac{10}{7}\pi$;

2) $\frac{\pi}{8}$; 4) -6?

4. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку $P_0(1; 0)$, чтобы получить точку:

1) $P_1\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

2) $P_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

5. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$;

2) $\frac{3\pi k}{4}, k \in Z$.

1.

1) Для перевода градусов в радианы используется формула: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180°}$.
Подставляем значение угла $48°$ в формулу:
$48° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{48\pi}{180}$.
Сокращаем дробь $\frac{48}{180}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:
$\frac{48 \div 12}{180 \div 12} = \frac{4}{15}$.
Таким образом, радианная мера угла равна $\frac{4\pi}{15}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{15}$.

2) Используем ту же формулу для перевода градусов в радианы: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180°}$.
Подставляем значение угла $315°$:
$315° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{315\pi}{180}$.
Сокращаем дробь $\frac{315}{180}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 45:
$\frac{315 \div 45}{180 \div 45} = \frac{7}{4}$.
Таким образом, радианная мера угла равна $\frac{7\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{4}$.

2.

1) Для перевода радиан в градусы используется формула: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180°}{\pi}$.
Подставляем значение угла $\frac{\pi}{18}$ в формулу:
$\frac{\pi}{18} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{180°}{18} = 10°$.
Ответ: $10°$.

2) Сначала переведем смешанное число $1\frac{4}{5}$ в неправильную дробь: $1\frac{4}{5}\pi = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5}\pi = \frac{9}{5}\pi$.
Теперь используем формулу для перевода радиан в градусы:
$\frac{9\pi}{5} \cdot \frac{180°}{\pi} = \frac{9 \cdot 180°}{5} = 9 \cdot 36° = 324°$.
Ответ: $324°$.

3.

Для определения координатной четверти необходимо сравнить угол с границами четвертей:
I четверть: $0° < \alpha < 90°$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
II четверть: $90° < \alpha < 180°$ ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
III четверть: $180° < \alpha < 270°$ ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
IV четверть: $270° < \alpha < 360°$ ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

1) 149°
Угол $149°$ удовлетворяет неравенству $90° < 149° < 180°$, следовательно, точка находится во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

2) $\frac{\pi}{8}$
Угол $\frac{\pi}{8}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{1}{8} < \frac{1}{2}$), следовательно, точка находится в I координатной четверти.
Ответ: I четверть.

3) $-\frac{10}{7}\pi$
Для отрицательного угла найдем соответствующий ему положительный угол, прибавив полный оборот $2\pi$ (или несколько оборотов, если необходимо).
$-\frac{10\pi}{7} + 2\pi = -\frac{10\pi}{7} + \frac{14\pi}{7} = \frac{4\pi}{7}$.
Теперь определим четверть для угла $\frac{4\pi}{7}$. Сравним его с границами $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Так как $\frac{1}{2} < \frac{4}{7} < 1$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$. Следовательно, точка находится во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

4) -6
Дан угол -6 радиан. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $2\pi \approx 6,28$.
Найдем положительный котерминальный угол: $-6 + 2\pi \approx -6 + 6,28 = 0,28$ радиан.
Этот угол удовлетворяет неравенству $0 < 0,28 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$, следовательно, точка находится в I координатной четверти.
Ответ: I четверть.

4.

Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $P_0(1;0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos\alpha; \sin\alpha)$.

1) $P_1(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$
Требуется найти все углы $\alpha$, для которых $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Так как и косинус, и синус отрицательны, угол находится в III координатной четверти.
Основной угол, для которого $\cos\beta = \frac{1}{2}$ и $\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равен $\beta = \frac{\pi}{3}$.
В III четверти угол $\alpha = \pi + \beta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Общее решение, учитывающее все полные обороты, имеет вид: $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$
Требуется найти все углы $\alpha$, для которых $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Косинус положителен, а синус отрицателен, следовательно, угол находится в IV координатной четверти.
Основной угол, для которого значения косинуса и синуса по модулю равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $\beta = \frac{\pi}{4}$.
В IV четверти угол можно записать как $\alpha = -\beta = -\frac{\pi}{4}$ или $\alpha = 2\pi - \beta = \frac{7\pi}{4}$.
Общее решение: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5.

Координаты точки $(x; y)$ на единичной окружности находятся по формулам $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$.

1) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Слагаемое $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов и не влияет на конечное положение точки. Поэтому достаточно найти координаты для угла $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
$x = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ (так как косинус - четная функция).
$y = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (так как синус - нечетная функция).
Координаты точки: $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) $\frac{3\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$
В данном случае угол зависит от целого числа $k$. Необходимо найти все уникальные точки, перебирая значения $k$.
- При $k=0$: $\alpha=0$. Координаты: $(\cos 0; \sin 0) = (1; 0)$.
- При $k=1$: $\alpha=\frac{3\pi}{4}$. Координаты: $(\cos\frac{3\pi}{4}; \sin\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
- При $k=2$: $\alpha=\frac{6\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$. Координаты: $(\cos\frac{3\pi}{2}; \sin\frac{3\pi}{2}) = (0; -1)$.
- При $k=3$: $\alpha=\frac{9\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi$. Координаты: $(\cos\frac{\pi}{4}; \sin\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
- При $k=4$: $\alpha=\frac{12\pi}{4}=3\pi=\pi+2\pi$. Координаты: $(\cos\pi; \sin\pi) = (-1; 0)$.
- При $k=5$: $\alpha=\frac{15\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2\pi$. Координаты: $(\cos\frac{7\pi}{4}; \sin\frac{7\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
- При $k=6$: $\alpha=\frac{18\pi}{4}=\frac{9\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+4\pi$. Координаты: $(\cos\frac{\pi}{2}; \sin\frac{\pi}{2}) = (0; 1)$.
- При $k=7$: $\alpha=\frac{21\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+4\pi$. Координаты: $(\cos\frac{5\pi}{4}; \sin\frac{5\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
При $k=8$ угол равен $6\pi$, что соответствует углу $0$, и точки начинают повторяться. Всего получается 8 различных точек.
Ответ: $(1; 0)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; -1)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-1; 0)$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(0; 1)$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.