Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 29

Уравнение $ \cos x = b $

1. Решите уравнение:

1) $ \cos \frac{3x}{7} = 0; $

2) $ \cos(5 - 6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos \frac{7\pi x}{8} = \frac{1}{2}; $

4) $ \cos \left(5x - \frac{\pi}{5}\right) = -\frac{\pi}{2}; $

5) $ 5\cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0. $

2. Найдите все корни уравнения $ \cos \left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ -\frac{\pi}{12} < x < \frac{3\pi}{8} $.

3. Определите количество корней уравнения $ \cos x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right] $ в зависимости от значения параметра $ a $.

1.

1) $\cos{\frac{3x}{7}} = 0$
Это частный случай уравнения $\cos{t} = 0$, решение которого $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{3x}{7}$.
$\frac{3x}{7} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{7}{3} \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(5 - 6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение уравнения $\cos{t} = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$5 - 6x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Так как $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:
$5 - 6x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$-6x = -5 \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{5}{6} \mp \frac{5\pi}{36} - \frac{2\pi n}{6} = \frac{5}{6} \mp \frac{5\pi}{36} - \frac{\pi n}{3}$.
Заменив $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$, можно записать ответ в виде:
$x = \frac{5}{6} \pm \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5}{6} \pm \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos{\frac{7\pi x}{8}} = \frac{1}{2}$
$\frac{7\pi x}{8} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$\frac{7\pi x}{8} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{8}{7\pi} \left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$
$x = \pm \frac{8\pi}{21\pi} + \frac{16\pi n}{7\pi} = \pm \frac{8}{21} + \frac{16n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{8}{21} + \frac{16n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(5x - \frac{\pi}{5}) = -\frac{\pi}{2}$
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$.
Значение $\pi \approx 3.14$, следовательно $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < -1$, то правая часть уравнения не входит в область значений косинуса.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: Корней нет.

5) $5\cos(3x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$
Преобразуем уравнение:
$5\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$\cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$
$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$3x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{5}) + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2.
Сначала решим уравнение $\cos(6x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$.
$6x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$6x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$6x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{24} \pm \frac{2\pi}{18} + \frac{2\pi n}{6} = \frac{\pi}{24} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$.
Получаем две серии корней:
1) $x_1 = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{72} + \frac{24\pi n}{72} = \frac{11\pi + 24\pi n}{72}$
2) $x_2 = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{72} + \frac{24\pi n}{72} = \frac{-5\pi + 24\pi n}{72}$
Теперь найдем корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{12} < x < \frac{3\pi}{8}$. Приведем границы неравенства к знаменателю 72: $-\frac{6\pi}{72} < x < \frac{27\pi}{72}$.
Для первой серии корней:
$-\frac{6\pi}{72} < \frac{11\pi + 24\pi n}{72} < \frac{27\pi}{72}$
$-6 < 11 + 24n < 27 \implies -17 < 24n < 16 \implies -\frac{17}{24} < n < \frac{16}{24}$.
Единственное целое значение $n$ в этом интервале – это $n=0$. При $n=0$ корень $x = \frac{11\pi}{72}$.
Для второй серии корней:
$-\frac{6\pi}{72} < \frac{-5\pi + 24\pi n}{72} < \frac{27\pi}{72}$
$-6 < -5 + 24n < 27 \implies -1 < 24n < 32 \implies -\frac{1}{24} < n < \frac{32}{24}$.
Целые значения $n$ в этом интервале – это $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ корень $x = -\frac{5\pi}{72}$.
При $n=1$ корень $x = \frac{-5\pi + 24\pi}{72} = \frac{19\pi}{72}$.
Таким образом, все корни, удовлетворяющие условию, это $-\frac{5\pi}{72}, \frac{11\pi}{72}, \frac{19\pi}{72}$.
Ответ: $-\frac{5\pi}{72}, \frac{11\pi}{72}, \frac{19\pi}{72}$.

3.
Нужно определить количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ в зависимости от параметра $a$.
Рассмотрим поведение функции $y = \cos x$ на данном промежутке.
Значения на концах промежутка:
$\cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
На промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, 0]$ функция $\cos x$ возрастает от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до своего максимума $1$ (в точке $x=0$).
На промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ убывает от $1$ до $\frac{1}{2}$.
Область значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ равна $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.
Количество корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y=\cos x$ на данном отрезке с горизонтальной прямой $y=a$.
1. Если $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$, то прямая $y=a$ не пересекает график. Корней нет.
2. Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в одной точке $x = -\frac{3\pi}{4}$. Один корень.
3. Если $-\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в одной точке на интервале возрастания $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{3})$. Один корень.
4. Если $a = \frac{1}{2}$, то прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$. Два корня.
5. Если $\frac{1}{2} < a < 1$, то прямая $y=a$ пересекает график в двух точках: на интервале возрастания $(-\frac{\pi}{3}, 0)$ и на интервале убывания $(0, \frac{\pi}{3})$. Два корня.
6. Если $a = 1$, то прямая $y=a$ касается графика в точке максимума $x=0$. Один корень.
Систематизируем результаты:

• при $a \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$ — нет корней;
• при $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \cup \{1\}$ — один корень;
• при $a \in [\frac{1}{2}, 1)$ — два корня.

Ответ: при $a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a > 1$ корней нет; при $a \in [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \cup \{1\}$ — один корень; при $a \in [\frac{1}{2}, 1)$ — два корня.

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0$

2) $1 - 2\sin(5 - 3x) = 0$

3) $\sin(2x - 1) = \frac{\pi}{6}$,

4) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $6\sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$?

1)Исходное уравнение: $2\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть и разделим на 2:$2\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$$\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Аргумент синуса равен:$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n$$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$Выразим $x$:$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$$x = \frac{\pi}{15} + \frac{(-1)^{n+1}\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{(-1)^{n+1}\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $1 - 2\sin(5 - 3x) = 0$. Выразим синус:$1 = 2\sin(5 - 3x)$$\sin(5 - 3x) = \frac{1}{2}$Аргумент синуса равен:$5 - 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$5 - 3x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$Выразим $x$:$-3x = -5 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$$3x = 5 - (-1)^n \frac{\pi}{6} - \pi n$$x = \frac{5}{3} - \frac{(-1)^n\pi}{18} - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{5}{3} - \frac{(-1)^n\pi}{18} - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $\sin(2x - 1) = \frac{\pi}{6}$. Значение функции синус должно лежать в промежутке $[-1, 1]$. Проверим значение правой части: $\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.5236$. Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{6} \le 1$, уравнение имеет решение.$2x - 1 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Выразим $x$:$2x = 1 + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$$x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $\sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{2}$. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2$:$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$$x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2.Решим уравнение $6\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$:$6\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{6}$$3x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Используя свойство $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$:$3x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n$$3x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n$$x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^{n+1}}{3} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \frac{\pi n}{3}$Теперь найдем наименьший положительный корень, перебирая значения $n$. Пусть $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$. При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\alpha}{3} < 0$. При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^2}{3}\alpha + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} + \frac{6\pi}{18} = \frac{5\pi}{18} + \frac{\alpha}{3}$. Это значение положительно. При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^3}{3}\alpha + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} - \frac{\alpha}{3} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} - \frac{\alpha}{3}$. Это значение также положительно. При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^0}{3}\alpha - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} - \frac{6\pi}{18} = -\frac{7\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} < 0$ (т.к. $0 < \alpha < \pi/6$).Сравним два найденных положительных корня: $x_1 = \frac{5\pi}{18} + \frac{\alpha}{3}$ и $x_2 = \frac{11\pi}{18} - \frac{\alpha}{3}$. Поскольку $\frac{5\pi}{18} < \frac{11\pi}{18}$, а $\frac{\alpha}{3}$ — малая положительная величина, очевидно, что $x_1 < x_2$. Таким образом, наименьший положительный корень получается при $n=1$. Ответ: $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

3.Уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ распадается на два:1) $\sin x = 0$2) $\cos x - a = 0 \implies \cos x = a$Нужно найти количество различных корней на промежутке $[0; 2\pi]$. Уравнение $\sin x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ всегда имеет три корня: $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$. Количество корней уравнения $\cos x = a$ зависит от параметра $a$:

• Если $|a| > 1$, уравнение $\cos x = a$ не имеет корней. В этом случае общее число корней исходного уравнения равно 3 (корни уравнения $\sin x = 0$).
• Если $|a| \le 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет корни. Нужно проверить, не совпадают ли они с корнями уравнения $\sin x = 0$.
  • Если $a=1$, то $\cos x = 1$ дает корни $x=0$ и $x=2\pi$. Эти корни уже есть среди корней $\sin x = 0$. Множество всех корней: $\{0, \pi, 2\pi\}$. Всего 3 корня.
  • Если $a=-1$, то $\cos x = -1$ дает корень $x=\pi$. Этот корень также уже есть. Множество всех корней: $\{0, \pi, 2\pi\}$. Всего 3 корня.
  • Если $-1 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два различных корня на промежутке $[0; 2\pi]$: $x=\arccos(a)$ и $x=2\pi - \arccos(a)$. Ни один из этих корней не равен $0, \pi$ или $2\pi$, так как для этих значений $\cos x$ равен $1$ или $-1$. Следовательно, к трем корням от $\sin x = 0$ добавляются два новых корня. Итого $3+2=5$ корней.

Таким образом, количество корней зависит от $a$ следующим образом:- Если $a \in (-1, 1)$, то уравнение имеет 5 корней.- Если $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, то уравнение имеет 3 корня. Ответ: Если $a \in (-1, 1)$, то уравнение имеет 5 корней; если $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, то уравнение имеет 3 корня.