Страница 97 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 31

Уравнения $tg x = b$ и $ctg x = b$

1. Решите уравнение:

1) $tg \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = -1$;

2) $4tg \left(6x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0$;

3) $3ctg \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) - 8 = 0$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ctg \left(4x - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

3. Сколько корней уравнения $ctg 2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежит промежутку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$?

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение $\frac{tg x - a}{sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$?

1. Решите уравнение:

1) $tg(\frac{\pi}{3} - 2x) = -1$

Согласно определению арктангенса, получаем:
$\frac{\pi}{3} - 2x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$:
$-2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-2x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$
$-2x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$
$x = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}$
Так как $n$ — любое целое число, можем заменить $-n$ на $n$ для удобства:
$x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $4tg(6x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Сначала выразим тангенс:
$4tg(6x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$tg(6x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$
Теперь решим уравнение:
$6x - \frac{\pi}{4} = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{4} + \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{1}{6}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{1}{6}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3ctg(4x - \frac{\pi}{3}) - 8 = 0$

Выразим котангенс:
$3ctg(4x - \frac{\pi}{3}) = 8$
$ctg(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{8}{3}$
Согласно определению арккотангенса, получаем:
$4x - \frac{\pi}{3} = arcctg(\frac{8}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$4x = \frac{\pi}{3} + arcctg(\frac{8}{3}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}arcctg(\frac{8}{3}) + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}arcctg(\frac{8}{3}) + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $ctg(4x - \frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

Сначала найдем общее решение уравнения:
$4x - \frac{\pi}{6} = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$4x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + \pi n$
$4x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n$
$4x = \frac{6\pi}{6} + \pi n$
$4x = \pi + \pi n = \pi(n+1)$
$x = \frac{\pi(n+1)}{4}$
Теперь найдем наименьший положительный корень. Для этого решим неравенство $x > 0$:
$\frac{\pi(n+1)}{4} > 0$
$n+1 > 0$
$n > -1$
Наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n=0$.
Подставим $n=0$ в формулу для $x$:
$x = \frac{\pi(0+1)}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3. Сколько корней уравнения $ctg(2x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ принадлежат промежутку $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$?

Найдем общее решение уравнения:
$2x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$
Теперь определим, при каких целых значениях $k$ корни попадают в заданный промежуток. Решим двойное неравенство:
$-\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \le \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-1 \le \frac{1}{6} + \frac{k}{2} \le \frac{1}{2}$
Вычтем $\frac{1}{6}$ из всех частей:
$-1 - \frac{1}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$
$-\frac{7}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{2}{6}$
$-\frac{7}{6} \le \frac{k}{2} \le \frac{1}{3}$
Умножим все части на 2:
$-\frac{14}{6} \le k \le \frac{2}{3}$
$-2\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}$
Целые значения $k$, которые удовлетворяют этому неравенству: -2, -1, 0.
Таким образом, на данном промежутке существует 3 корня.

Ответ: 3.

4. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение $\frac{tg(x) - a}{\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}} = 0$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$?

Данное уравнение равносильно системе условий:
$\begin{cases} tg(x) - a = 0 \\ \sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0 \\ x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \end{cases}$
1. Решим уравнение $tg(x) - a = 0 \implies tg(x) = a$. На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $y=tg(x)$ принимает каждое действительное значение ровно один раз. Следовательно, для любого $a$ это уравнение имеет единственный корень на данном промежутке.
2. Рассмотрим ограничение $\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0 \implies \sin(x) \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ это ограничение нарушается только в одной точке: $x = -\frac{\pi}{3}$.
3. Необходимо выяснить, при каком значении параметра $a$ единственный корень уравнения $tg(x) = a$ совпадает с "запрещенным" значением $x = -\frac{\pi}{3}$.
Подставим $x = -\frac{\pi}{3}$ в уравнение $tg(x) = a$:
$a = tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Сделаем выводы:

• Если $a = -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $tg(x) = a$ это $x = -\frac{\pi}{3}$. Но при этом значении $x$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль, поэтому корень является посторонним. Следовательно, при $a = -\sqrt{3}$ уравнение не имеет корней.
• Если $a \ne -\sqrt{3}$, то единственный корень уравнения $tg(x) = a$ не равен $-\frac{\pi}{3}$, а значит знаменатель в ноль не обращается. Следовательно, при $a \ne -\sqrt{3}$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a = -\sqrt{3}$, то корней нет; если $a \ne -\sqrt{3}$, то один корень.

Самостоятельная работа № 32

Функции $y = \arccos x$, $y = \arcsin x$, $y = \text{arctg } x$ и $y = \text{arcctg } x$

1. Вычислите:

1) $\text{tg}(2\text{arcctg}\sqrt{3});$

2) $\cos\left(2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arcctg}\sqrt{3}\right);$

3) $\sin\left(\arcsin\frac{\pi}{12}\right).$

2. Найдите область определения функции $y = \arcsin(5 - x^2)$.

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 5\arccos x - \frac{\pi}{4};$

2) $y = 6 - 3\text{arctg } 6x.$

4. Вычислите:

1) $\sin\left(\arccos\frac{2}{9}\right);$

2) $\cos(\text{arctg } 3);$

3) $\sin\left(2\arccos\frac{1}{7}\right);$

4) $\arcsin(\sin 5).$

1. Вычислите:

1) $tg(2\text{arcctg}\sqrt{3})$
Сначала найдем значение $\text{arcctg}\sqrt{3}$. По определению, $\text{arcctg}\sqrt{3}$ - это угол $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Этому условию соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$tg(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $cos(2\text{arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2} - 4\text{arctg}\sqrt{3})$
Найдем значения аркфункций:
$\text{arcsin}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.
$\text{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Подставим значения в выражение:
$cos(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}) = cos(-\frac{2\pi}{3})$.
Так как функция косинус четная ($cos(-x) = cos(x)$), то:
$cos(-\frac{2\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) $sin(\text{arcsin}\frac{\pi}{12})$
По определению, $sin(\text{arcsin} x) = x$ при условии, что $-1 \le x \le 1$.
Проверим это условие для $x = \frac{\pi}{12}$. Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{\pi}{12} \approx \frac{3.14}{12} \approx 0.26$.
Так как $-1 \le \frac{\pi}{12} \le 1$, то равенство выполняется.
$sin(\text{arcsin}\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $\frac{\pi}{12}$.

2. Найдите область определения функции $y = \text{arcsin}(5 - x^2)$.

Область определения функции арксинус, $D(\text{arcsin})$, есть отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, аргумент функции должен удовлетворять неравенству:
$-1 \le 5 - x^2 \le 1$.
Это двойное неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} 5 - x^2 \ge -1 \\ 5 - x^2 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$5 - x^2 \ge -1 \implies 6 \ge x^2 \implies x^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.
Решим второе неравенство:
$5 - x^2 \le 1 \implies 4 \le x^2 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$[-\sqrt{6}, \sqrt{6}] \cap ((-\infty, -2] \cup [2, +\infty))$.
Поскольку $\sqrt{6} \approx 2.45$, пересечением будут интервалы $[-\sqrt{6}, -2]$ и $[2, \sqrt{6}]$.
Таким образом, область определения функции: $x \in [-\sqrt{6}, -2] \cup [2, \sqrt{6}]$.
Ответ: $[-\sqrt{6}, -2] \cup [2, \sqrt{6}]$.

3. Найдите область значений функции:

1) $y = 5\text{arccos}x - \frac{\pi}{4}$
Область значений функции арккосинус, $E(\text{arccos})$, есть отрезок $[0, \pi]$.
$0 \le \text{arccos}x \le \pi$.
Умножим все части неравенства на 5:
$0 \cdot 5 \le 5\text{arccos}x \le \pi \cdot 5 \implies 0 \le 5\text{arccos}x \le 5\pi$.
Вычтем из всех частей $\frac{\pi}{4}$:
$0 - \frac{\pi}{4} \le 5\text{arccos}x - \frac{\pi}{4} \le 5\pi - \frac{\pi}{4}$.
$-\frac{\pi}{4} \le y \le \frac{20\pi - \pi}{4} \implies -\frac{\pi}{4} \le y \le \frac{19\pi}{4}$.
Область значений функции: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}]$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{4}, \frac{19\pi}{4}]$.

2) $y = 6 - 3\text{arctg}6x$
Область значений функции арктангенс, $E(\text{arctg})$, есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Аргумент $6x$ не влияет на область значений арктангенса.
$-\frac{\pi}{2} < \text{arctg}6x < \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на -3, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-\frac{\pi}{2} \cdot (-3) > -3\text{arctg}6x > \frac{\pi}{2} \cdot (-3)$.
$\frac{3\pi}{2} > -3\text{arctg}6x > -\frac{3\pi}{2}$.
Запишем в привычном порядке:
$-\frac{3\pi}{2} < -3\text{arctg}6x < \frac{3\pi}{2}$.
Прибавим ко всем частям 6:
$6 - \frac{3\pi}{2} < 6 - 3\text{arctg}6x < 6 + \frac{3\pi}{2}$.
$6 - \frac{3\pi}{2} < y < 6 + \frac{3\pi}{2}$.
Область значений функции: $(6 - \frac{3\pi}{2}, 6 + \frac{3\pi}{2})$.
Ответ: $(6 - \frac{3\pi}{2}, 6 + \frac{3\pi}{2})$.

4. Вычислите:

1) $sin(\text{arccos}\frac{2}{9})$
Пусть $\alpha = \text{arccos}\frac{2}{9}$. Тогда $cos\alpha = \frac{2}{9}$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Нужно найти $sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{2}{9})^2 = 1 - \frac{4}{81} = \frac{77}{81}$.
$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{77}{81}} = \pm\frac{\sqrt{77}}{9}$.
Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $sin\alpha \ge 0$. Следовательно, $sin\alpha = \frac{\sqrt{77}}{9}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{77}}{9}$.

2) $cos(\text{arctg}3)$
Пусть $\alpha = \text{arctg}3$. Тогда $tg\alpha = 3$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Нужно найти $cos\alpha$. Используем тождество $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$.
$1 + 3^2 = \frac{1}{cos^2\alpha} \implies 10 = \frac{1}{cos^2\alpha} \implies cos^2\alpha = \frac{1}{10}$.
$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.
Так как $tg\alpha = 3 > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен.
Следовательно, $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3) $sin(2\text{arccos}\frac{1}{7})$
Пусть $\alpha = \text{arccos}\frac{1}{7}$. Тогда $cos\alpha = \frac{1}{7}$ и $\alpha \in [0, \pi]$.
Нужно найти $sin(2\alpha)$. Используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$.
Найдем $sin\alpha$: $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$.
Так как $\alpha \in [0, \pi]$, $sin\alpha \ge 0$, поэтому $sin\alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
Теперь вычислим $sin(2\alpha)$:
$sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{8\sqrt{3}}{49}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{49}$.

4) $\text{arcsin}(\sin 5)$
По определению, $\text{arcsin}(\sin x) = x$ только если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Значение $5$ не принадлежит этому отрезку, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Нам нужно найти такое число $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin y = \sin 5$.
Определим, в какой четверти находится угол 5 радиан. $\pi \approx 3.14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол находится в IV четверти.
Значение арксинуса для угла из IV четверти должно лежать в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, 0]$.
Используем свойство периодичности синуса: $\sin x = \sin(x - 2\pi k)$ для любого целого $k$.
Пусть $k=1$, тогда $\sin 5 = \sin(5 - 2\pi)$.
Проверим, принадлежит ли значение $5 - 2\pi$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
$5 - 2\pi \approx 5 - 2 \cdot 3.14 = 5 - 6.28 = -1.28$.
Поскольку $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, то $-1.57 \le -1.28 \le 1.57$. Условие выполняется.
Следовательно, $\text{arcsin}(\sin 5) = 5 - 2\pi$.
Ответ: $5 - 2\pi$.