Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 26

Формулы приведения

1. Упростите выражение:

1) $sin(\pi - \alpha);$

2) $tg(\pi - \alpha);$

3) $ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2});$

4) $ctg^2(\frac{11\pi}{2} - \alpha).$

2. Найдите значение выражения

$sin(-\frac{7\pi}{6})cos\frac{11\pi}{3}tg(-\frac{15\pi}{4})ctg\frac{8\pi}{3}.$

3. Упростите выражение:

1) $ctg(\pi - \alpha) - sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + tg(\frac{5\pi}{2} - \alpha) + cos(2\pi - \alpha);$

2) $\frac{cos(\pi - \alpha)sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{ctg(5\pi - \alpha)cos(4\pi - \alpha)tg(3\pi + \alpha)}$

4. Упростите выражение tg 29°tg 30°tg 31° ... tg 61°.

1.

1) Используем формулу приведения для синуса. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй координатной четверти, где синус положителен. Так как в формуле присутствует $ \pi $, название функции не меняется.

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $

Ответ: $ \sin(\alpha) $

2) Используем формулу приведения для тангенса. Угол $ \pi - \alpha $ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Название функции не меняется.

$ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Ответ: $ -\text{tg}(\alpha) $

3) Воспользуемся свойством нечетности котангенса ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $), чтобы вынести минус за скобки: $ \text{ctg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \text{ctg}(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Теперь применим формулу приведения. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей четверти, где котангенс положителен. Так как в формуле есть $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию (тангенс).

$ -\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $

Ответ: $ -\text{tg}(\alpha) $

4) Упростим угол, отбросив полные периоды. Период котангенса равен $ \pi $. $ \frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} $. Отбросив $ 5\pi $, получаем: $ \text{ctg}^2(\frac{11\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти, где все функции положительны, а название функции меняется на кофункцию.

$ \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ \text{tg}^2(\alpha) $

2.

Для нахождения значения выражения $ \sin(-\frac{7\pi}{6})\cos(\frac{11\pi}{3})\text{tg}(-\frac{15\pi}{4})\text{ctg}(\frac{8\pi}{3}) $ вычислим значение каждого множителя по отдельности:

$ \sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{11\pi}{3}) = \cos(\frac{12\pi - \pi}{3}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}(-\frac{15\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{15\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{16\pi - \pi}{4}) = -\text{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \text{ctg}(\frac{8\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{6\pi + 2\pi}{3}) = \text{ctg}(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь перемножим полученные значения: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{12} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{12} $

3.

1) Упростим каждое слагаемое в выражении $ \text{ctg}(\pi - \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + \text{tg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) + \cos(2\pi - \alpha) $:

$ \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $

$ \text{tg}(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение: $ -\text{ctg}(\alpha) - (-\cos(\alpha)) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) + \text{ctg}(\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $

2) Упростим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\cos(\pi - \alpha)\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{\text{ctg}(5\pi - \alpha)\cos(4\pi - \alpha)\text{tg}(3\pi + \alpha)} $.

Числитель: $ \cos(\pi - \alpha)\sin(\frac{7\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) = -\cos^2(\alpha)\sin(\alpha) $.

Знаменатель: $ \text{ctg}(5\pi - \alpha)\cos(4\pi - \alpha)\text{tg}(3\pi + \alpha) = (-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha)) \cdot (\text{tg}(\alpha)) $. Так как $ \text{ctg}(\alpha)\text{tg}(\alpha)=1 $, знаменатель равен $ -\cos(\alpha) $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{-\cos^2(\alpha)\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \cos(\alpha)\sin(\alpha) $.

Ответ: $ \cos(\alpha)\sin(\alpha) $

4.

Рассмотрим произведение $ \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,30^\circ \cdot \text{tg}\,31^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}\,61^\circ $. Воспользуемся формулой приведения $ \text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x) $, из которой следует тождество $ \text{tg}(x) \cdot \text{tg}(90^\circ - x) = \text{tg}(x) \cdot \text{ctg}(x) = 1 $.

Сгруппируем множители в произведении в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $ 90^\circ $:

$ (\text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,61^\circ) \cdot (\text{tg}\,30^\circ \cdot \text{tg}\,60^\circ) \cdot \ldots \cdot (\text{tg}\,44^\circ \cdot \text{tg}\,46^\circ) \cdot \text{tg}\,45^\circ $.

Произведение в каждой паре равно 1. Например, $ \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}\,61^\circ = \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \text{tg}\,29^\circ \cdot \text{ctg}\,29^\circ = 1 $.

В произведении остается единственный множитель, не имеющий пары: $ \text{tg}\,45^\circ $.

Таким образом, всё выражение равно произведению нескольких единиц и $ \text{tg}\,45^\circ $. Так как $ \text{tg}\,45^\circ = 1 $, то итоговый результат равен 1.

Ответ: $ 1 $

Самостоятельная работа № 27

Формулы двойного, тройного и половинного углов

1. Дано: $ \text{sin}\alpha = -\frac{12}{13} $, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Найдите:

1) $ \text{sin}2\alpha $;

2) $ \text{cos}2\alpha $;

3) $ \text{tg}4\alpha $.

2. Понизьте степень выражения:

1) $ \text{cos}^2 12x $;

2) $ \text{sin}^2 \left(\frac{\pi}{10} - \beta\right) $.

3. Докажите тождество:

1) $ 2\text{cos}^2 5\alpha - \text{cos}10\alpha = 1 $;

2) $ \text{tg}3\alpha(1 + \text{cos}6\alpha) = \text{sin}6\alpha $.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right) \text{sin}^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)}{1 - 2\text{sin}^2 3\alpha} $;

2) $ \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\text{cos}10\alpha} $, если $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $.

5. Найдите значение выражения $ \text{sin}10^\circ(4\text{cos}^2 10^\circ - 1) $.

1. Дано: $ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $, $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $.

Поскольку угол $ \alpha $ находится в третьей четверти ($ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $), его косинус будет отрицательным. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $.

Следовательно, $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} $.

1) sin 2α

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.
$ \sin 2\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169} $.

Ответ: $ \frac{120}{169} $.

2) cos 2α

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.
$ \cos 2\alpha = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169} $.

Ответ: $ -\frac{119}{169} $.

3) tg 4α

Сначала найдем $ \tan 2\alpha $: $ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{120/169}{-119/169} = -\frac{120}{119} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $ \tan 4\alpha = \tan(2 \cdot 2\alpha) $:
$ \tan 4\alpha = \frac{2\tan 2\alpha}{1 - \tan^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot (-\frac{120}{119})}{1 - (-\frac{120}{119})^2} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{14161 - 14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{-\frac{239}{14161}} $.

$ \tan 4\alpha = \frac{240}{119} \cdot \frac{14161}{239} = \frac{240}{119} \cdot \frac{119^2}{239} = \frac{240 \cdot 119}{239} = \frac{28560}{239} $.

Ответ: $ \frac{28560}{239} $.

2. Понизьте степень выражения:

1) cos²12x

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $.
$ \cos^2 12x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 12x)}{2} = \frac{1 + \cos 24x}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 + \cos 24x}{2} $.

2) sin²($\frac{\pi}{10}$ - β)

Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.
$ \sin^2\left(\frac{\pi}{10} - \beta\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{10} - \beta\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{5} - 2\beta\right)}{2} $.

Ответ: $ \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{5} - 2\beta\right)}{2} $.

3. Докажите тождество:

1) 2cos²5α - cos10α = 1

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $. При $ x = 5\alpha $, получаем $ \cos 10\alpha = 2\cos^2 5\alpha - 1 $.
Подставим это в левую часть: $ 2\cos^2 5\alpha - (2\cos^2 5\alpha - 1) = 2\cos^2 5\alpha - 2\cos^2 5\alpha + 1 = 1 $.
$ 1 = 1 $. Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) tg3α(1 + cos6α) = sin6α

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. При $ x = 3\alpha $ получаем $ 1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha $.
Заменяем $ \tan 3\alpha $ на $ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} $.
Левая часть: $ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} \cdot (2\cos^2 3\alpha) = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha $.

По формуле синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $, получаем: $ 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

4. Упростите выражение:

1) $ \frac{2\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)}{1 - 2\sin^2 3\alpha} $

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - 2\sin^2 3\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = \cos 6\alpha $.

Упростим числитель. Пусть $ \beta = \frac{\pi}{4} - 3\alpha $. Тогда $ \frac{\pi}{4} + 3\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta $.
Числитель принимает вид: $ 2\tan\beta \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) $.
Используя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos\beta $, получаем: $ 2\tan\beta \cos^2\beta = 2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cos^2\beta = 2\sin\beta\cos\beta $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\beta\cos\beta = \sin 2\beta $.
Подставим обратно $ \beta $: $ \sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - 3\alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 6\alpha\right) = \cos 6\alpha $.

Таким образом, всё выражение равно: $ \frac{\cos 6\alpha}{\cos 6\alpha} = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

2) $ \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}\cos10\alpha} $, если $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $

Вынесем общий множитель: $ \sqrt{\frac{1}{8}(1 - \cos 10\alpha)} $.

Используем формулу понижения степени $ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $. При $ 2x = 10\alpha $, $ x = 5\alpha $:
$ \sqrt{\frac{1}{8}(2\sin^2 5\alpha)} = \sqrt{\frac{1}{4}\sin^2 5\alpha} = \left|\frac{1}{2}\sin 5\alpha\right| $.

Определим знак $ \sin 5\alpha $. Из условия $ \frac{\pi}{10} < \alpha < \frac{\pi}{5} $ следует, что $ \frac{5\pi}{10} < 5\alpha < \frac{5\pi}{5} $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 5\alpha < \pi $.

В этом интервале (вторая четверть) синус положителен, $ \sin 5\alpha > 0 $. Значит, модуль можно опустить.

Ответ: $ \frac{1}{2}\sin 5\alpha $.

5. Найдите значение выражения $ \sin10^\circ(4\cos^2 10^\circ - 1) $.

Пусть $ x = 10^\circ $. Выражение имеет вид $ \sin x (4\cos^2 x - 1) $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $:
$ \sin x (4(1 - \sin^2 x) - 1) = \sin x (4 - 4\sin^2 x - 1) = \sin x (3 - 4\sin^2 x) $.

Раскроем скобки: $ 3\sin x - 4\sin^3 x $.

Это формула синуса тройного угла: $ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $.

Следовательно, наше выражение равно $ \sin(3x) $. Подставим $ x = 10^\circ $:
$ \sin(3 \cdot 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.