Страница 93 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

1. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $;

2) $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + \text{tg} \frac{\beta}{4} \text{ctg} \frac{\beta}{4} $;

3) $ \frac{1 + \text{ctg}^2 5\varphi (\cos^2 5\varphi - 1)}{\sin^2 5\varphi} $.

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла $ \gamma $, если $ \text{ctg}\gamma = -\sqrt{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi $.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 7\cos^2 \varphi - 5\sin^2 \varphi $;

2) $ 4\cos^2 \beta - 5\text{tg}^2 \beta \cos^2 \beta $.

4. Упростите выражение $ \sqrt{\cos^2 \varphi (1 + \text{tg} \varphi) + \sin^2 \varphi (1 + \text{ctg} \varphi)} $;

если $ 3\pi < \varphi < \frac{7\pi}{2} $.

1. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = 7\beta $, поэтому $ \cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta = 1 $.

Выражение принимает вид: $ 1 - \frac{1}{\sin^2 2\beta} $.

Используем еще одно тождество: $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим его в наше выражение: $ 1 - (1 + \text{ctg}^2 2\beta) = 1 - 1 - \text{ctg}^2 2\beta = -\text{ctg}^2 2\beta $.

Ответ: $ -\text{ctg}^2 2\beta $

2) $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + \text{tg} \frac{\beta}{4} \cdot \text{ctg} \frac{\beta}{4} $

Используем тождество $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $. В данном случае $ \alpha = \frac{\beta}{4} $, поэтому $ \text{tg} \frac{\beta}{4} \cdot \text{ctg} \frac{\beta}{4} = 1 $.

Выражение упрощается до: $ \text{tg}^2 \frac{\beta}{3} + 1 $.

Применим тождество $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Получаем: $ \frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}} $

3) $ \frac{1 + \text{ctg}^2 5\phi(\cos^2 5\phi - 1)}{\sin^2 5\phi} $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $. В нашем случае $ \alpha = 5\phi $, поэтому $ \cos^2 5\phi - 1 = -\sin^2 5\phi $.

Подставим это в числитель: $ 1 + \text{ctg}^2 5\phi \cdot (-\sin^2 5\phi) $.

Используем определение котангенса $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Числитель становится: $ 1 + \frac{\cos^2 5\phi}{\sin^2 5\phi} \cdot (-\sin^2 5\phi) = 1 - \cos^2 5\phi $.

Снова используя основное тождество, получаем $ 1 - \cos^2 5\phi = \sin^2 5\phi $.

Таким образом, всё выражение равно $ \frac{\sin^2 5\phi}{\sin^2 5\phi} = 1 $.

Ответ: $ 1 $

2. Вычислите значения тригонометрических функций угла γ, если $ \text{ctg} \gamma = -\sqrt{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi $.

Угол $ \gamma $ находится в IV четверти, где $ \sin \gamma < 0 $, $ \cos \gamma > 0 $, $ \text{tg} \gamma < 0 $.

1. Найдем $ \text{tg} \gamma $:
$ \text{tg} \gamma = \frac{1}{\text{ctg} \gamma} = \frac{1}{-\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

2. Найдем $ \sin \gamma $ из тождества $ 1 + \text{ctg}^2 \gamma = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $:
$ 1 + (-\sqrt{5})^2 = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $
$ 1 + 5 = \frac{1}{\sin^2 \gamma} $
$ \sin^2 \gamma = \frac{1}{6} $
Так как $ \gamma $ в IV четверти, $ \sin \gamma $ отрицателен: $ \sin \gamma = -\sqrt{\frac{1}{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} $.

3. Найдем $ \cos \gamma $ из тождества $ \text{ctg} \gamma = \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} $:
$ \cos \gamma = \text{ctg} \gamma \cdot \sin \gamma = (-\sqrt{5}) \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{6}) = \frac{\sqrt{30}}{6} $.
Значение положительное, что соответствует IV четверти.

Ответ: $ \sin \gamma = -\frac{\sqrt{6}}{6} $, $ \cos \gamma = \frac{\sqrt{30}}{6} $, $ \text{tg} \gamma = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 7\cos^2 \phi - 5\sin^2 \phi $

Используем тождество $ \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi $ и подставим в выражение:

$ 7\cos^2 \phi - 5(1 - \cos^2 \phi) = 7\cos^2 \phi - 5 + 5\cos^2 \phi = 12\cos^2 \phi - 5 $.

Область значений для $ \cos^2 \phi $ - это отрезок $ [0, 1] $.

Наименьшее значение достигается при $ \cos^2 \phi = 0 $:
$ 12 \cdot 0 - 5 = -5 $.

Наибольшее значение достигается при $ \cos^2 \phi = 1 $:
$ 12 \cdot 1 - 5 = 7 $.

Ответ: Наибольшее значение: $ 7 $, наименьшее значение: $ -5 $.

2) $ 4\cos^2 \beta - 5\text{tg}^2 \beta \cos^2 \beta $

Вынесем $ \cos^2 \beta $ за скобки:

$ \cos^2 \beta (4 - 5\text{tg}^2 \beta) $.

Подставим $ \text{tg}^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} $:

$ \cos^2 \beta (4 - 5 \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}) = 4\cos^2 \beta - 5\sin^2 \beta $.

Мы получили то же выражение, что и в предыдущем пункте. Следовательно, его наибольшее и наименьшее значения совпадают.

Ответ: Наибольшее значение: $ 7 $, наименьшее значение: $ -5 $.

4. Упростите выражение $ \sqrt{\cos^2 \phi(1 + \text{tg} \phi) + \sin^2 \phi(1 + \text{ctg} \phi)} $, если $ 3\pi < \phi < \frac{7\pi}{2} $.

Сначала упростим выражение под корнем. Раскроем скобки и заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \cos^2 \phi(1 + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}) + \sin^2 \phi(1 + \frac{\cos \phi}{\sin \phi}) = $

$ \cos^2 \phi \cdot \frac{\cos \phi + \sin \phi}{\cos \phi} + \sin^2 \phi \cdot \frac{\sin \phi + \cos \phi}{\sin \phi} = $

$ \cos \phi (\cos \phi + \sin \phi) + \sin \phi (\sin \phi + \cos \phi) = $

$ (\cos \phi + \sin \phi)(\cos \phi + \sin \phi) = (\cos \phi + \sin \phi)^2 $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \sqrt{(\cos \phi + \sin \phi)^2} = |\cos \phi + \sin \phi| $.

Условие $ 3\pi < \phi < \frac{7\pi}{2} $ означает, что угол $ \phi $ находится в III координатной четверти (если отбросить полный оборот $2\pi$, то это $ \pi < \phi - 2\pi < \frac{3\pi}{2} $).

В III четверти и синус, и косинус отрицательны: $ \sin \phi < 0 $ и $ \cos \phi < 0 $.

Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна: $ \cos \phi + \sin \phi < 0 $.

По определению модуля, $ |a| = -a $, если $ a < 0 $. Следовательно:

$ |\cos \phi + \sin \phi| = -(\cos \phi + \sin \phi) = -\cos \phi - \sin \phi $.

Ответ: $ -\sin \phi - \cos \phi $

Самостоятельная работа № 25

Формулы сложения

1. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos(60^\circ - \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha)}{\cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha)}$

2) $\frac{\cos 58^\circ \sin 14^\circ + \sin 58^\circ \cos 14^\circ}{\cos 35^\circ \cos 37^\circ - \sin 35^\circ \sin 37^\circ}$

2. Докажите тождество $\cos 8\alpha - \operatorname{ctg} 4\alpha \sin 8\alpha = -1$.

3. Найдите $\operatorname{tg} 75^\circ$.

4. Дано: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Найдите $\cos(60^\circ + \alpha)$.

5. Найдите наибольшее значение выражения $7\sin \alpha - 24\cos \alpha$.

6. Постройте график функции $y = \frac{\operatorname{tg} 3x + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x}$.

1. Упростите выражение:

1) $ \frac{\cos(60^\circ - \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha)}{\cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha)} $

Используем формулы косинуса разности/суммы и синуса разности/суммы.

Преобразуем числитель:
$ \cos(60^\circ - \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha) = (\cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha) - (\sin 30^\circ \cos \alpha - \cos 30^\circ \sin \alpha) $
$ = (\frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) - (\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) = \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha = \sqrt{3}\sin \alpha $.

Преобразуем знаменатель:
$ \cos(30^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ + \alpha) = (\cos 30^\circ \cos \alpha - \sin 30^\circ \sin \alpha) - (\sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha) $
$ = (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha) - (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha - \frac{1}{2}\sin \alpha = -\sin \alpha $.

Теперь найдем значение всей дроби:
$ \frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{-\sin\alpha} = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $.

2) $ \frac{\cos 58^\circ \sin 14^\circ + \sin 58^\circ \cos 14^\circ}{\cos 35^\circ \cos 37^\circ - \sin 35^\circ \sin 37^\circ} $

В числителе дроби видим формулу синуса суммы: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
$ \cos 58^\circ \sin 14^\circ + \sin 58^\circ \cos 14^\circ = \sin 58^\circ \cos 14^\circ + \cos 58^\circ \sin 14^\circ = \sin(58^\circ + 14^\circ) = \sin(72^\circ) $.

В знаменателе дроби видим формулу косинуса суммы: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
$ \cos 35^\circ \cos 37^\circ - \sin 35^\circ \sin 37^\circ = \cos(35^\circ + 37^\circ) = \cos(72^\circ) $.

Таким образом, выражение равно:
$ \frac{\sin(72^\circ)}{\cos(72^\circ)} = \text{tg}(72^\circ) $.

Ответ: $ \text{tg}(72^\circ) $.

2. Докажите тождество $\cos 8\alpha - \text{ctg} 4\alpha\sin 8\alpha = -1$.

Преобразуем левую часть тождества (ЛЧ):
ЛЧ = $ \cos 8\alpha - \text{ctg} 4\alpha \sin 8\alpha $
Используем определение котангенса $ \text{ctg} 4\alpha = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 8\alpha = 2\sin 4\alpha \cos 4\alpha $:
ЛЧ = $ \cos 8\alpha - \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot (2\sin 4\alpha \cos 4\alpha) $
При условии $ \sin 4\alpha \neq 0 $, сокращаем $ \sin 4\alpha $:
ЛЧ = $ \cos 8\alpha - 2\cos^2 4\alpha $
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $, из которой $ 2\cos^2 x = \cos(2x) + 1 $. Для $ x = 4\alpha $ получаем $ 2\cos^2 4\alpha = \cos 8\alpha + 1 $.
ЛЧ = $ \cos 8\alpha - (\cos 8\alpha + 1) = \cos 8\alpha - \cos 8\alpha - 1 = -1 $.
ЛЧ = -1, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3. Найдите tg 75°.

Представим $ 75^\circ $ как сумму двух известных углов: $ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ $.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B} $.
$ \text{tg}(75^\circ) = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg} 45^\circ + \text{tg} 30^\circ}{1 - \text{tg} 45^\circ \text{tg} 30^\circ} $.

Мы знаем, что $ \text{tg} 45^\circ = 1 $ и $ \text{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $. Подставляем эти значения:
$ \text{tg}(75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{3}+1) $:
$ \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} $.

Ответ: $ 2 + \sqrt{3} $.

4. Дано: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Найдите $\cos(60^\circ + \alpha)$.

Угол $ \alpha $ находится в четвертой четверти ($ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $), где косинус положителен, а синус отрицателен.

Найдем $ \cos \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \alpha $ в IV четверти, $ \cos \alpha > 0 $, поэтому $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Теперь найдем $ \cos(60^\circ + \alpha) $ по формуле косинуса суммы $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $:
$ \cos(60^\circ + \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha - \sin 60^\circ \sin \alpha $.

Подставим известные значения $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos \alpha = \frac{5}{13} $ и $ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $:
$ \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{26} + \frac{12\sqrt{3}}{26} = \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26} $.

Ответ: $ \frac{5 + 12\sqrt{3}}{26} $.

5. Найдите наибольшее значение выражения $7\sin\alpha - 24\cos\alpha$.

Выражение вида $ a\sin x + b\cos x $ имеет область значений $ [-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] $.
Следовательно, его наибольшее значение равно $ \sqrt{a^2+b^2} $.

В нашем случае $ a=7 $ и $ b=-24 $.
Наибольшее значение равно $ \sqrt{7^2+(-24)^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25 $.

Ответ: $ 25 $.

6. Постройте график функции $y = \frac{\text{tg} 3x + \text{tg} x}{1 - \text{tg} 3x \text{tg} x}$.

Правая часть уравнения представляет собой формулу тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B} $, где $ A=3x $ и $ B=x $.
Следовательно, функцию можно упростить до $ y = \text{tg}(3x+x) = \text{tg}(4x) $.

Однако, область определения исходной функции отличается от области определения функции $ y=\text{tg}(4x) $. Исходная функция не определена, если не определен хотя бы один из тангенсов в ее записи:
1) $ \text{tg} x $ не определен, если $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \text{tg} 3x $ не определен, если $ \cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, для построения графика нужно:
1. Построить график функции $ y=\text{tg}(4x) $. Это график функции $ y=\text{tg}(x) $, сжатый по оси абсцисс в 4 раза. Его период $ T = \frac{\pi}{4} $, а вертикальные асимптоты - прямые $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z} $.
2. На полученном графике "выколоть" (удалить) точки, абсциссы которых не входят в область определения исходной функции. Это точки с абсциссами $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ и $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $ для всех целых $ n $ и $ k $.

Ответ: Графиком является функция $ y=\text{tg}(4x) $ с выколотыми точками при $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ и $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $ для всех $ n, k \in \mathbb{Z} $.