Страница 92 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Свойства и графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$

1. На промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \cos x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

2. Сравните:

1) $\sin \frac{12\pi}{11}$ и $\sin \frac{13\pi}{12}$;

2) $\cos (-7)$ и $\cos (-8)$.

3. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \sqrt{2}\cos 43^\circ$;

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ$?

4. Постройте график функции:

1) $y = \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right) - 3$;

2) $y = \sin x + \left( \sqrt{\sin x} \right)^2$.

1.
1) нули функции $y=\cos x$
Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $\cos x = 0$.
Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выберем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$:
При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$.
При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Этот корень входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4}$.
Другие целые значения $k$ дают корни, не принадлежащие данному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

2) значения аргумента, при которых функция $y=\cos x$ принимает наибольшее и наименьшее значения
Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.
Наименьшее значение, равное -1, функция принимает при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. При $k=0$, $x = \pi$. Этот корень принадлежит промежутку $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$, следовательно, наименьшее значение на данном промежутке равно -1 и достигается при $x=\pi$.
Наибольшее значение, равное 1, функция принимает при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Ни одна из этих точек не входит в промежуток $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$. Это значит, что наибольшее значение на данном отрезке будет достигаться на его концах.
Вычислим значения функции на концах промежутка:
$y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$y(\frac{7\pi}{4}) = \cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, наибольшее значение функции на данном промежутке равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и достигается при $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$.
Ответ: Наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$; наименьшее значение — при $x = \pi$.

2.
1) $\sin \frac{12\pi}{11}$ и $\sin \frac{13\pi}{12}$
Оба угла, $\frac{12\pi}{11} = \pi + \frac{\pi}{11}$ и $\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$, находятся в III координатной четверти, где синус отрицателен.
Используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$, получаем:
$\sin \frac{12\pi}{11} = -\sin \frac{\pi}{11}$
$\sin \frac{13\pi}{12} = -\sin \frac{\pi}{12}$
Сравним аргументы $\frac{\pi}{11}$ и $\frac{\pi}{12}$. Так как $11 < 12$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$.
Оба угла находятся в I четверти, где функция $y = \sin x$ возрастает. Поэтому $\sin \frac{\pi}{11} > \sin \frac{\pi}{12}$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-\sin \frac{\pi}{11} < -\sin \frac{\pi}{12}$.
Следовательно, $\sin \frac{12\pi}{11} < \sin \frac{13\pi}{12}$.
Ответ: $\sin \frac{12\pi}{11} < \sin \frac{13\pi}{12}$.

2) $\cos(-7)$ и $\cos(-8)$
Так как функция косинус четная, $\cos(-x) = \cos x$. Нам нужно сравнить $\cos 7$ и $\cos 8$.
Определим, в каких четвертях находятся углы 7 и 8 радиан (используя $\pi \approx 3.14$):
$2\pi \approx 6.28$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$, $3\pi \approx 9.42$.
Угол 7 радиан удовлетворяет неравенству $2\pi < 7 < \frac{5\pi}{2}$, значит, он находится в I четверти (с учетом полного оборота), и $\cos 7 > 0$.
Угол 8 радиан удовлетворяет неравенству $\frac{5\pi}{2} < 8 < 3\pi$, значит, он находится во II четверти, и $\cos 8 < 0$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos 7 > \cos 8$.
Ответ: $\cos(-7) > \cos(-8)$.

3.
1) $\cos \alpha = \sqrt{2}\cos 43^\circ$
Область значений функции косинус: $E(\cos \alpha) = [-1; 1]$. Равенство возможно, если $-1 \le \sqrt{2}\cos 43^\circ \le 1$.
На промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$ функция косинус убывает. Так как $43^\circ < 45^\circ$, то $\cos 43^\circ > \cos 45^\circ$.
Мы знаем, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Следовательно, $\cos 43^\circ > \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$: $\sqrt{2}\cos 43^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
Так как значение выражения $\sqrt{2}\cos 43^\circ$ больше 1, оно не входит в область значений $\cos \alpha$.
Ответ: нет, невозможно.

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ$
Область значений функции синус: $E(\sin \alpha) = [-1; 1]$. Равенство возможно, если $-1 \le \frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ \le 1$.
На промежутке $(0^\circ, 90^\circ)$ функция косинус убывает. Так как $31^\circ > 30^\circ$, то $\cos 31^\circ < \cos 30^\circ$.
Мы знаем, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\cos 31^\circ < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{2}{\sqrt{3}}$: $\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ < \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.
Так как $31^\circ$ — угол первой четверти, $\cos 31^\circ > 0$, значит и $\frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ > 0$.
Таким образом, $0 < \frac{2}{\sqrt{3}}\cos 31^\circ < 1$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Ответ: да, возможно.

4.
1) $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) - 3$
График данной функции получается из графика $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получается функция $y = \cos(2x)$.
2. Сдвиг графика влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Для этого в формуле $x$ заменяется на $x+\frac{\pi}{3}$. Получается функция $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3})) = \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$.
3. Сдвиг графика вниз вдоль оси Oy на 3 единицы. Получается итоговая функция $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) - 3$.
График представляет собой косинусоиду с амплитудой 1, периодом $\pi$, смещенную на $\frac{\pi}{3}$ влево и на 3 вниз. Область значений функции: $[-1-3, 1-3] = [-4, -2]$.
Ответ: Графиком является косинусоида с периодом $\pi$, смещенная влево на $\frac{\pi}{3}$ и вниз на 3, колеблющаяся в диапазоне от -4 до -2.

2) $y = \sin x + (\sqrt{\sin x})^2$
Найдем область определения функции (ОДЗ). По-коренное выражение должно быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.
Это условие выполняется при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения $(\sqrt{\sin x})^2 = \sin x$.
Таким образом, функция упрощается до $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$ при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ.
График функции состоит из частей графика $y = 2\sin x$. Это синусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси Oy. Мы должны изобразить только те ее участки ("арки"), которые лежат на промежутках, где $\sin x \ge 0$.
Например, на отрезке $[0, \pi]$ график идет от $(0,0)$ к $(\pi, 0)$ через точку максимума $(\frac{\pi}{2}, 2)$. На интервале $(\pi, 2\pi)$ графика нет. Затем на отрезке $[2\pi, 3\pi]$ эта же арка повторяется, и так далее.
Ответ: График функции представляет собой "арки" графика $y = 2\sin x$, расположенные на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[ -\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 44^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 44^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 57^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 29^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 43^{\circ}$ и $\sin 87^{\circ}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = \operatorname{ctg} 2|x|$;

3) $y = |\operatorname{ctg} x| + \operatorname{ctg} x$.

1. На промежутке $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках, где $\operatorname{ctg} x = 0$. Это происходит, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.

Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$.
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} \le -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4}$ (или $-\frac{3\pi}{4} \le -\frac{2\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$).
• При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{2} < -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только один нуль функции.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ - это все действительные числа, кроме тех, где $\sin x = 0$. Условие $\sin x = 0$ выполняется при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.

Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} \le 0 \le \frac{\pi}{4}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение не входит в промежуток.
• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только одно число, которое не принадлежит области определения функции.

Ответ: $0$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 44^\circ$ и $\operatorname{tg} 44^\circ$;

Угол $44^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 44^\circ < 90^\circ$). В этой четверти функции тангенса и котангенса положительны.

Известно, что $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ и $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Так как $44^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{tg} 44^\circ < \operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Так как $44^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Таким образом, имеем $\operatorname{ctg} 44^\circ > 1$ и $\operatorname{tg} 44^\circ < 1$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{tg} 44^\circ$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{tg} 44^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 57^\circ$ и $\operatorname{ctg} 29^\circ$;

Используем формулу приведения: $\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$.

Преобразуем $\operatorname{ctg} 29^\circ$:

$\operatorname{ctg} 29^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \operatorname{tg} 61^\circ$.

Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg} 57^\circ$ и $\operatorname{tg} 61^\circ$.

Оба угла, $57^\circ$ и $61^\circ$, находятся в первой четверти. Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает в первой четверти.

Так как $57^\circ < 61^\circ$, то $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{tg} 61^\circ$.

Следовательно, $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{ctg} 29^\circ$.

Ответ: $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{ctg} 29^\circ$.

3) $\operatorname{ctg} 43^\circ$ и $\sin 87^\circ$.

Рассмотрим оба значения.

Угол $43^\circ$ находится в первой четверти. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает в первой четверти. Так как $43^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 43^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Угол $87^\circ$ находится в первой четверти. Функция $y = \sin x$ возрастает в первой четверти. Значение синуса в первой четверти не превышает 1. $\sin 87^\circ < \sin 90^\circ = 1$.

Так как $\operatorname{ctg} 43^\circ > 1$ и $\sin 87^\circ < 1$, то $\operatorname{ctg} 43^\circ > \sin 87^\circ$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 43^\circ > \sin 87^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

Построение графика выполняется в несколько шагов на основе графика функции $y = \operatorname{tg} x$.

1. Строим график $y_1 = \operatorname{tg} x$. Это тангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. Строим график $y_2 = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_1$, сдвинутый влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. Строим график $y_3 = 2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_2$, растянутый в 2 раза вдоль оси Oy.
4. Строим итоговый график $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_3$, симметрично отраженный относительно оси Ox. Функция становится убывающей на каждом интервале области определения.

График представляет собой убывающую кривую, проходящую через точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, с вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $x=0$, $y = -2\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = -2$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{4}$, растянутый по вертикали в 2 раза и отраженный относительно оси Ox.

2) $y = \operatorname{ctg} 2|x|$;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{ctg}(2|-x|) = \operatorname{ctg}(2|x|) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Построение можно разбить на два шага:

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg}(2x)$ для $x > 0$. Это график функции $y = \operatorname{ctg} x$, сжатый в 2 раза по горизонтали. Период функции равен $\frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$. Для $x > 0$ асимптотами будут $x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \dots$. Нули функции находятся в точках $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
2. Затем отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

Так как $\operatorname{ctg}(0)$ не определен, ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(2x)$ для $x>0$, дополненный его симметричным отражением относительно оси Oy.

3) $y = |\operatorname{ctg} x| + \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in \left(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:

$y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x$.

2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:

$y = -\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 0$.

Таким образом, график функции состоит из участков:

• На интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ строится график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ (котангенсоида, растянутая в 2 раза по вертикали).
• На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$ строится график функции $y = 0$ (отрезок оси Ox).

Вертикальные асимптоты графика - прямые $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График представляет собой совокупность ветвей функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ в 1-й и 3-й четвертях и отрезков прямой $y=0$ во 2-й и 4-й четвертях.