Номер 23, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Свойства и графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$

1. На промежутке $\left[ -\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 44^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 44^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 57^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 29^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 43^{\circ}$ и $\sin 87^{\circ}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = \operatorname{ctg} 2|x|$;

3) $y = |\operatorname{ctg} x| + \operatorname{ctg} x$.

1. На промежутке $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$ укажите:

1) нули функции $y = \operatorname{ctg} x$;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ находятся в точках, где $\operatorname{ctg} x = 0$. Это происходит, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.

Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{4}$.
• При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} \le -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4}$ (или $-\frac{3\pi}{4} \le -\frac{2\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$).
• При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{2} < -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только один нуль функции.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ - это все действительные числа, кроме тех, где $\sin x = 0$. Условие $\sin x = 0$ выполняется при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $\left[-\frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.

Подставим различные целые значения $n$:

• При $n = 0$, $x = 0$. Это значение входит в промежуток, так как $-\frac{3\pi}{4} \le 0 \le \frac{\pi}{4}$.
• При $n = 1$, $x = \pi$. Это значение не входит в промежуток.
• При $n = -1$, $x = -\pi$. Это значение не входит в промежуток, так как $-\pi < -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, на данном промежутке есть только одно число, которое не принадлежит области определения функции.

Ответ: $0$.

2. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 44^\circ$ и $\operatorname{tg} 44^\circ$;

Угол $44^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 44^\circ < 90^\circ$). В этой четверти функции тангенса и котангенса положительны.

Известно, что $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ и $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Так как $44^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{tg} 44^\circ < \operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Так как $44^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Таким образом, имеем $\operatorname{ctg} 44^\circ > 1$ и $\operatorname{tg} 44^\circ < 1$. Следовательно, $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{tg} 44^\circ$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 44^\circ > \operatorname{tg} 44^\circ$.

2) $\operatorname{tg} 57^\circ$ и $\operatorname{ctg} 29^\circ$;

Используем формулу приведения: $\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$.

Преобразуем $\operatorname{ctg} 29^\circ$:

$\operatorname{ctg} 29^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 29^\circ) = \operatorname{tg} 61^\circ$.

Теперь задача сводится к сравнению $\operatorname{tg} 57^\circ$ и $\operatorname{tg} 61^\circ$.

Оба угла, $57^\circ$ и $61^\circ$, находятся в первой четверти. Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает в первой четверти.

Так как $57^\circ < 61^\circ$, то $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{tg} 61^\circ$.

Следовательно, $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{ctg} 29^\circ$.

Ответ: $\operatorname{tg} 57^\circ < \operatorname{ctg} 29^\circ$.

3) $\operatorname{ctg} 43^\circ$ и $\sin 87^\circ$.

Рассмотрим оба значения.

Угол $43^\circ$ находится в первой четверти. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает в первой четверти. Так как $43^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 43^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$.

Угол $87^\circ$ находится в первой четверти. Функция $y = \sin x$ возрастает в первой четверти. Значение синуса в первой четверти не превышает 1. $\sin 87^\circ < \sin 90^\circ = 1$.

Так как $\operatorname{ctg} 43^\circ > 1$ и $\sin 87^\circ < 1$, то $\operatorname{ctg} 43^\circ > \sin 87^\circ$.

Ответ: $\operatorname{ctg} 43^\circ > \sin 87^\circ$.

3. Постройте график функции:

1) $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

Построение графика выполняется в несколько шагов на основе графика функции $y = \operatorname{tg} x$.

1. Строим график $y_1 = \operatorname{tg} x$. Это тангенсоида с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. Строим график $y_2 = \operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_1$, сдвинутый влево по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты смещаются в $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. Строим график $y_3 = 2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_2$, растянутый в 2 раза вдоль оси Oy.
4. Строим итоговый график $y = -2\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Это график $y_3$, симметрично отраженный относительно оси Ox. Функция становится убывающей на каждом интервале области определения.

График представляет собой убывающую кривую, проходящую через точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, с вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, при $x=0$, $y = -2\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = -2$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый влево на $\frac{\pi}{4}$, растянутый по вертикали в 2 раза и отраженный относительно оси Ox.

2) $y = \operatorname{ctg} 2|x|$;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{ctg}(2|-x|) = \operatorname{ctg}(2|x|) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Построение можно разбить на два шага:

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg}(2x)$ для $x > 0$. Это график функции $y = \operatorname{ctg} x$, сжатый в 2 раза по горизонтали. Период функции равен $\frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$. Для $x > 0$ асимптотами будут $x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \dots$. Нули функции находятся в точках $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
2. Затем отражаем полученную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

Так как $\operatorname{ctg}(0)$ не определен, ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(2x)$ для $x>0$, дополненный его симметричным отражением относительно оси Oy.

3) $y = |\operatorname{ctg} x| + \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in \left(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:

$y = \operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 2\operatorname{ctg} x$.

2. Если $\operatorname{ctg} x < 0$. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:

$y = -\operatorname{ctg} x + \operatorname{ctg} x = 0$.

Таким образом, график функции состоит из участков:

• На интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ строится график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ (котангенсоида, растянутая в 2 раза по вертикали).
• На интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$ строится график функции $y = 0$ (отрезок оси Ox).

Вертикальные асимптоты графика - прямые $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График представляет собой совокупность ветвей функции $y = 2\operatorname{ctg} x$ в 1-й и 3-й четвертях и отрезков прямой $y=0$ во 2-й и 4-й четвертях.