Номер 30, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 30

Уравнение $\sin x = b$

1. Решите уравнение:

1) $2\sin \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0$

2) $1 - 2\sin(5 - 3x) = 0$

3) $\sin(2x - 1) = \frac{\pi}{6}$,

4) $\sqrt{3}\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$

2. Найдите наименьший положительный корень уравнения $6\sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$.

3. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$?

1)Исходное уравнение: $2\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2} = 0$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть и разделим на 2:$2\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{2}$$\sin\left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Аргумент синуса равен:$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n$$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$Выразим $x$:$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$$x = \frac{\pi}{15} + \frac{(-1)^{n+1}\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{\pi}{15} + \frac{(-1)^{n+1}\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $1 - 2\sin(5 - 3x) = 0$. Выразим синус:$1 = 2\sin(5 - 3x)$$\sin(5 - 3x) = \frac{1}{2}$Аргумент синуса равен:$5 - 3x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$5 - 3x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$Выразим $x$:$-3x = -5 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$$3x = 5 - (-1)^n \frac{\pi}{6} - \pi n$$x = \frac{5}{3} - \frac{(-1)^n\pi}{18} - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{5}{3} - \frac{(-1)^n\pi}{18} - \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $\sin(2x - 1) = \frac{\pi}{6}$. Значение функции синус должно лежать в промежутке $[-1, 1]$. Проверим значение правой части: $\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.5236$. Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{6} \le 1$, уравнение имеет решение.$2x - 1 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Выразим $x$:$2x = 1 + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$$x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $\sqrt{3} \sin x + \cos x = -\sqrt{2}$. Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2$:$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n$$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n$$x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2.Решим уравнение $6\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$:$6\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -1$$\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{6}$$3x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$Используя свойство $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$:$3x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n$$3x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n$$x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^{n+1}}{3} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \frac{\pi n}{3}$Теперь найдем наименьший положительный корень, перебирая значения $n$. Пусть $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$. При $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{18} - \frac{\alpha}{3} < 0$. При $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^2}{3}\alpha + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} + \frac{6\pi}{18} = \frac{5\pi}{18} + \frac{\alpha}{3}$. Это значение положительно. При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^3}{3}\alpha + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} - \frac{\alpha}{3} + \frac{12\pi}{18} = \frac{11\pi}{18} - \frac{\alpha}{3}$. Это значение также положительно. При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{18} + \frac{(-1)^0}{3}\alpha - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} - \frac{6\pi}{18} = -\frac{7\pi}{18} + \frac{\alpha}{3} < 0$ (т.к. $0 < \alpha < \pi/6$).Сравним два найденных положительных корня: $x_1 = \frac{5\pi}{18} + \frac{\alpha}{3}$ и $x_2 = \frac{11\pi}{18} - \frac{\alpha}{3}$. Поскольку $\frac{5\pi}{18} < \frac{11\pi}{18}$, а $\frac{\alpha}{3}$ — малая положительная величина, очевидно, что $x_1 < x_2$. Таким образом, наименьший положительный корень получается при $n=1$. Ответ: $x = \frac{5\pi}{18} + \frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

3.Уравнение $\sin x(\cos x - a) = 0$ распадается на два:1) $\sin x = 0$2) $\cos x - a = 0 \implies \cos x = a$Нужно найти количество различных корней на промежутке $[0; 2\pi]$. Уравнение $\sin x = 0$ на промежутке $[0; 2\pi]$ всегда имеет три корня: $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$. Количество корней уравнения $\cos x = a$ зависит от параметра $a$:

• Если $|a| > 1$, уравнение $\cos x = a$ не имеет корней. В этом случае общее число корней исходного уравнения равно 3 (корни уравнения $\sin x = 0$).
• Если $|a| \le 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет корни. Нужно проверить, не совпадают ли они с корнями уравнения $\sin x = 0$.
  • Если $a=1$, то $\cos x = 1$ дает корни $x=0$ и $x=2\pi$. Эти корни уже есть среди корней $\sin x = 0$. Множество всех корней: $\{0, \pi, 2\pi\}$. Всего 3 корня.
  • Если $a=-1$, то $\cos x = -1$ дает корень $x=\pi$. Этот корень также уже есть. Множество всех корней: $\{0, \pi, 2\pi\}$. Всего 3 корня.
  • Если $-1 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два различных корня на промежутке $[0; 2\pi]$: $x=\arccos(a)$ и $x=2\pi - \arccos(a)$. Ни один из этих корней не равен $0, \pi$ или $2\pi$, так как для этих значений $\cos x$ равен $1$ или $-1$. Следовательно, к трем корням от $\sin x = 0$ добавляются два новых корня. Итого $3+2=5$ корней.

Таким образом, количество корней зависит от $a$ следующим образом:- Если $a \in (-1, 1)$, то уравнение имеет 5 корней.- Если $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, то уравнение имеет 3 корня. Ответ: Если $a \in (-1, 1)$, то уравнение имеет 5 корней; если $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$, то уравнение имеет 3 корня.