Номер 19, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Тригонометрические функции

числового аргумента

1. Найдите значение выражения:

1) $3\cos270^\circ – 6\sin90^\circ + 5\text{tg}180^\circ$

2) $2\text{ctg}\frac{\pi}{2} – 8\sin\pi + 7\cos\pi$

3) $\frac{\left(\cos\frac{\pi}{3} + \text{tg}\frac{\pi}{4}\right) 8\sin\frac{\pi}{6}}{\text{ctg}\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}}$

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $2 – 5\sin\alpha$

2) $3 – \cos^2\alpha$

3) $\frac{\sin\alpha(4 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$

3. Найдите область значений выражения:

1) $\text{ctg}^2 x – 3$

2) $\frac{1}{5 – \cos4x}$

3) $\frac{1}{1 + \sin5x}$

1. Найдите значение выражения:

1) $3\cos270^\circ - 6\sin90^\circ + 5\text{tg}180^\circ$

Для решения найдём значения тригонометрических функций для данных углов:
$\cos270^\circ = 0$
$\sin90^\circ = 1$
$\text{tg}180^\circ = 0$
Подставим эти значения в выражение:
$3 \cdot 0 - 6 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 0 - 6 + 0 = -6$
Ответ: -6

2) $2\text{ctg}\frac{\pi}{2} - 8\sin\pi + 7\cos\pi$

Найдём значения тригонометрических функций:
$\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$
$\sin\pi = 0$
$\cos\pi = -1$
Подставим значения в выражение:
$2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 7 \cdot (-1) = 0 - 0 - 7 = -7$
Ответ: -7

3) $\frac{(\cos\frac{\pi}{3} + \text{tg}\frac{\pi}{4}) \cdot 8\sin\frac{\pi}{6}}{\text{ctg}\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}}$

Найдём значения тригонометрических функций для числителя и знаменателя.
Для числителя:
$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$
$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
Значение числителя: $(\frac{1}{2} + 1) \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$
Для знаменателя:
$\text{ctg}\frac{3\pi}{2} = 0$
$\sin\frac{\pi}{2} = 1$
Значение знаменателя: $0 - 1 = -1$
Теперь найдём значение всей дроби:
$\frac{6}{-1} = -6$
Ответ: -6

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $2 - 5\sin\alpha$

Область значений функции синус: $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Умножим неравенство на -5, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge -5\sin\alpha \ge 1 \cdot (-5)$
$5 \ge -5\sin\alpha \ge -5$, или $-5 \le -5\sin\alpha \le 5$.
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$2 - 5 \le 2 - 5\sin\alpha \le 2 + 5$
$-3 \le 2 - 5\sin\alpha \le 7$
Наибольшее значение выражения равно 7, а наименьшее равно -3.
Ответ: наибольшее значение 7, наименьшее значение -3.

2) $3 - \cos^2\alpha$

Область значений косинуса: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Тогда область значений квадрата косинуса: $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.
Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства:
$0 \ge -\cos^2\alpha \ge -1$, или $-1 \le -\cos^2\alpha \le 0$.
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1 \le 3 - \cos^2\alpha \le 3 + 0$
$2 \le 3 - \cos^2\alpha \le 3$
Наибольшее значение выражения равно 3, а наименьшее равно 2.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение 2.

3) $\frac{\sin\alpha(4 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$

Выражение определено при условии $\sin\alpha \neq 0$. При этом условии мы можем сократить дробь:
$\frac{\sin\alpha(4 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 4 + \cos\alpha$
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 - 1 \le 4 + \cos\alpha \le 4 + 1$
$3 \le 4 + \cos\alpha \le 5$
Наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее равно 3. (Примечание: эти значения достигаются, когда $\cos\alpha=1$ и $\cos\alpha=-1$ соответственно, что соответствует $\sin\alpha=0$. Строго говоря, выражение не достигает этих значений, а только стремится к ним. Однако в рамках школьной программы часто подразумевается нахождение значений для упрощенного выражения).
Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение 3.

3. Найдите область значений выражения:

1) $\text{ctg}^2x - 3$

Область значений функции котангенс - все действительные числа: $\text{ctg}x \in (-\infty; +\infty)$.
Квадрат любой действительной величины является неотрицательным числом, поэтому область значений $\text{ctg}^2x$ есть $[0; +\infty)$.
$0 \le \text{ctg}^2x < +\infty$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$0 - 3 \le \text{ctg}^2x - 3 < +\infty$
$-3 \le \text{ctg}^2x - 3 < +\infty$
Следовательно, область значений выражения - это промежуток $[-3; +\infty)$.
Ответ: $[-3; +\infty)$.

2) $\frac{1}{5 - \cos4x}$

Найдём область значений знаменателя $5 - \cos4x$.
Область значений функции $\cos4x$ есть $[-1; 1]$.
$-1 \le \cos4x \le 1$
Умножим на -1: $1 \ge -\cos4x \ge -1$, или $-1 \le -\cos4x \le 1$.
Прибавим 5: $5 - 1 \le 5 - \cos4x \le 5 + 1$.
$4 \le 5 - \cos4x \le 6$.
Знаменатель принимает значения от 4 до 6 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, то при нахождении обратной величины наибольшему значению знаменателя будет соответствовать наименьшее значение дроби, и наоборот.
Наименьшее значение дроби: $\frac{1}{6}$.
Наибольшее значение дроби: $\frac{1}{4}$.
Область значений выражения: $[\frac{1}{6}; \frac{1}{4}]$.
Ответ: $[\frac{1}{6}; \frac{1}{4}]$.

3) $\frac{1}{1 + \sin5x}$

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: $1 + \sin5x \neq 0$, то есть $\sin5x \neq -1$.
Область значений синуса $[-1; 1]$. С учётом ограничения, $\sin5x$ принимает значения из полуинтервала $(-1; 1]$.
$-1 < \sin5x \le 1$
Найдём область значений знаменателя $1 + \sin5x$, прибавив 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 1 < 1 + \sin5x \le 1 + 1$
$0 < 1 + \sin5x \le 2$
Знаменатель принимает значения в полуинтервале $(0; 2]$.
Когда знаменатель равен 2, значение дроби равно $\frac{1}{2}$. Это наименьшее значение.
Когда знаменатель стремится к 0 (справа, т.е. оставаясь положительным), значение дроби стремится к $+\infty$.
Следовательно, область значений выражения - это промежуток $[\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}; +\infty)$.