Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 28

Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \sin \frac{11\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} $

2) $ \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) $

3) $ \sin 2\alpha + \cos 6\alpha $

4) $ \sqrt{2}\cos\alpha + 1 $

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos 25^\circ \cos 50^\circ $

2) $ \sin\alpha \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $

3. Докажите тождество:

1) $ \sin 2\alpha \sin 4\alpha + \cos \alpha \cos 5\alpha = \cos \alpha \cos 3\alpha $

2) $ \sin^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = -\cos 2\alpha \cos 2\beta $

1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \sin\frac{11\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12} $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.
$ \sin\frac{11\pi}{12} - \sin\frac{5\pi}{12} = 2\sin\frac{\frac{11\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}}{2}\cos\frac{\frac{11\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}}{2} = 2\sin\frac{\frac{6\pi}{12}}{2}\cos\frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = 2\sin\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = 2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{2\pi}{3} $.

Ответ: $ 2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{2\pi}{3} $.

2) $ \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sin(x - \frac{\pi}{6}) $

Воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
$ \sin(x + \frac{\pi}{6}) + \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 2\sin\frac{(x + \frac{\pi}{6})+(x - \frac{\pi}{6})}{2}\cos\frac{(x + \frac{\pi}{6})-(x - \frac{\pi}{6})}{2} = 2\sin\frac{2x}{2}\cos\frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = 2\sin x \cos\frac{\pi}{6} $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то выражение равно $ 2\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin x $.

Ответ: $ \sqrt{3}\sin x $.

3) $ \sin 2\alpha + \cos 6\alpha $

Приведем оба слагаемых к одной тригонометрической функции, используя формулу приведения $ \sin\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) $.
$ \sin 2\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) $.
Тогда выражение принимает вид: $ \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + \cos 6\alpha $.
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
$ 2\cos\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) + 6\alpha}{2}\cos\frac{(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) - 6\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{\pi}{2} + 4\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{2} - 8\alpha}{2} = 2\cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.

4) $ \sqrt{2}\cos\alpha + 1 $

Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобки: $ \sqrt{2}(\cos\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}) $.
Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $: $ \sqrt{2}(\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}) $.
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
$ \sqrt{2} \cdot [2\cos\frac{\alpha+\frac{\pi}{4}}{2}\cos\frac{\alpha-\frac{\pi}{4}}{2}] = 2\sqrt{2}\cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8})\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}) $.

Ответ: $ 2\sqrt{2}\cos(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8})\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}) $.

2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos 25^\circ \cos 50^\circ $

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.
$ \cos 50^\circ \cos 25^\circ = \frac{1}{2}(\cos(50^\circ-25^\circ) + \cos(50^\circ+25^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 25^\circ + \cos 75^\circ) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 25^\circ + \cos 75^\circ) $.

2) $ \sin\alpha \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) $

Воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.
Пусть $ x = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ y = \alpha $.
$ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)\sin\alpha = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)-\alpha\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)+\alpha\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)\right) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2\alpha\right)\right) $.

3. Докажите тождество:

1) $ \sin 2\alpha \sin 4\alpha + \cos\alpha \cos 5\alpha = \cos\alpha \cos 3\alpha $

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества, используя формулы преобразования произведения в сумму:
$ \sin 2\alpha \sin 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha - 2\alpha) - \cos(4\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 6\alpha) $.
$ \cos\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - \alpha) + \cos(5\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 6\alpha) $.
Сложим полученные выражения:
ЛЧ = $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 6\alpha) + \frac{1}{2}(\cos 4\alpha + \cos 6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 6\alpha + \cos 4\alpha + \cos 6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.
Теперь преобразуем полученную сумму в произведение по формуле $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ \frac{1}{2}(2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2}) = \cos\frac{6\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = \cos 3\alpha \cos\alpha $.
ЛЧ = $ \cos\alpha \cos 3\alpha $, что равно правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $ \sin^2(\alpha - \beta) - \cos^2(\alpha + \beta) = -\cos 2\alpha \cos 2\beta $

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества, используя формулы понижения степени: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $ и $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $.
$ \sin^2(\alpha - \beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha - \beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} $.
$ \cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1 + \cos(2(\alpha + \beta))}{2} = \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} $.
Подставим в левую часть:
ЛЧ = $ \frac{1 - \cos(2\alpha - 2\beta)}{2} - \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 2\beta) - 1 - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = -\frac{1}{2}(\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)) $.
Теперь преобразуем сумму косинусов в произведение по формуле $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ \cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta) = 2\cos\frac{(2\alpha - 2\beta) + (2\alpha + 2\beta)}{2}\cos\frac{(2\alpha + 2\beta) - (2\alpha - 2\beta)}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{4\beta}{2} = 2\cos 2\alpha \cos 2\beta $.
Подставим обратно в выражение для ЛЧ:
ЛЧ = $ -\frac{1}{2}(2\cos 2\alpha \cos 2\beta) = -\cos 2\alpha \cos 2\beta $.
ЛЧ = ПЧ. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.