Страница 101 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 38

Задачи о мгновенной скорости и касательной к графику функции

1. Для функции $f(x) = 1 - 4x^2$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 5t^2 + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с.

3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1.

Для функции $f(x) = 1 - 4x^2$ и точки $x_0$ найдем приращение функции $\Delta f$ и отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ равно разности значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Вычислим значения функции:

$f(x_0) = 1 - 4x_0^2$

$f(x_0 + \Delta x) = 1 - 4(x_0 + \Delta x)^2 = 1 - 4(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 1 - 4x_0^2 - 8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2$

Теперь найдем приращение $\Delta f$:

$\Delta f = (1 - 4x_0^2 - 8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2) - (1 - 4x_0^2) = -8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-8x_0\Delta x - 4(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-8x_0 - 4\Delta x)}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x$

Предел этого отношения при $\Delta x \to 0$ равен производной функции в точке $x_0$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-8x_0 - 4\Delta x) = -8x_0 - 4 \cdot 0 = -8x_0$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0 - 4\Delta x$; $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -8x_0$.

2.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 5t^2 + 3$.

Мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t$ является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Обозначим скорость как $v(t)$.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t)$:

$s'(t) = (5t^2 + 3)' = 5 \cdot (t^2)' + (3)' = 5 \cdot 2t + 0 = 10t$

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 10t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0 = 2$ с, подставим это значение в найденную функцию скорости:

$v(2) = 10 \cdot 2 = 20$ (м/с)

Ответ: 20 м/с.

3.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

В нашем случае функция $y = x^2 - 3$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $y$:

$y' = (x^2 - 3)' = (x^2)' - (3)' = 2x - 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$k = y'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2.

Самостоятельная работа № 39

Понятие производной

1. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1 - 4x}{5};$

2) $y = x^{1.4};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

2. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{4};$

2) $f(x) = 8x^2 \sqrt{x}, x_0 = 9.$

3. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 26) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 26

4. Касательная к графику функции $f(x) = x^4$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k = \frac{4}{27}$. Найдите $x_0$.

5. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^5}$. Найдите $s'(1)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

1.

1) Представим функцию $y = \frac{1 - 4x}{5}$ в виде $y = \frac{1}{5} - \frac{4}{5}x$.
Это линейная функция, производная которой равна угловому коэффициенту.
$y' = (\frac{1}{5} - \frac{4}{5}x)' = (\frac{1}{5})' - (\frac{4}{5}x)' = 0 - \frac{4}{5} = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{5}$.

2) Для нахождения производной функции $y = x^{1.4}$ воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
В данном случае $n = 1.4$.
$y' = (x^{1.4})' = 1.4x^{1.4-1} = 1.4x^{0.4}$.
Ответ: $y' = 1.4x^{0.4}$.

3) Преобразуем функцию $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ к степенному виду.
$y = \frac{1}{x^{2/3}} = x^{-2/3}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ при $n = -\frac{2}{3}$.
$y' = (x^{-2/3})' = -\frac{2}{3}x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{3}x^{-5/3}$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{3}x^{-5/3}$.

2.

1) Дана функция $f(x) = \sin x$, точка $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.
Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0$:
$f'(-\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$.
Так как функция косинус четная ($\cos(-a) = \cos(a)$), то:
$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = 8x^2\sqrt{x}$, точка $x_0 = 9$.
Упростим вид функции: $f(x) = 8x^2 \cdot x^{1/2} = 8x^{2+1/2} = 8x^{5/2}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (8x^{5/2})' = 8 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2-1} = 20x^{3/2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:
$f'(9) = 20 \cdot 9^{3/2} = 20 \cdot (\sqrt{9})^3 = 20 \cdot 3^3 = 20 \cdot 27 = 540$.
Ответ: $540$.

3.
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, к положительному направлению оси Ox ($f'(x_0) = \tan \alpha$).

• Для точки $x_1$: на графике показана касательная, угол наклона которой к оси Ox составляет $120^\circ$.
  $f'(x_1) = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.
• Для точки $x_2$: эта точка является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, следовательно, угол ее наклона равен $0^\circ$.
  $f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.
• Для точки $x_3$: эта точка является точкой локального минимума. Касательная к графику в этой точке также горизонтальна.
  $f'(x_3) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\sqrt{3}$, $f'(x_2) = 0$, $f'(x_3) = 0$.

4.
Угловой коэффициент касательной $k$ к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0)$.
Дана функция $f(x) = x^4$ и угловой коэффициент $k = \frac{4}{27}$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.
Приравняем производную к значению углового коэффициента, чтобы найти $x_0$:
$f'(x_0) = 4x_0^3 = \frac{4}{27}$.
Разделим обе части уравнения на 4:
$x_0^3 = \frac{1}{27}$.
Найдем $x_0$, извлекая кубический корень:
$x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_0 = \frac{1}{3}$.

5.
Закон движения материальной точки: $s(t) = \frac{1}{t^5}$.
Сначала найдем производную $s'(t)$. Для этого представим функцию в виде $s(t) = t^{-5}$.
$s'(t) = (t^{-5})' = -5t^{-5-1} = -5t^{-6} = -\frac{5}{t^6}$.
Теперь найдем значение производной в момент времени $t=1$:
$s'(1) = -\frac{5}{1^6} = -5$.
Механический смысл производной от закона движения по времени $s'(t)$ — это мгновенная скорость точки в момент времени $t$.
Следовательно, $s'(1) = -5$ — это мгновенная скорость точки в момент времени $t=1$. Знак "минус" означает, что точка движется в отрицательном направлении координатной прямой.
Ответ: $s'(1)=-5$. Найденная величина — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=1$.