Страница 108 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Степенная функция.

Корень n-й степени и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $3 \sqrt{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}}$;

2) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8}$;

3) $\sqrt[4]{6-2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6+2\sqrt{5}}$;

4) $\sqrt[4]{108-54\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}.$

1) $\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}}$

Для решения применим свойства корней: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9 \cdot 7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9} \cdot \sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{3^{\frac{9}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{12}{3}}} = \frac{3^3 \cdot 7^1}{2^4} = \frac{27 \cdot 7}{16} = \frac{189}{16}$.

Ответ можно представить в виде смешанной дроби: $11\frac{13}{16}$.

Ответ: $\frac{189}{16}$.

2) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8}$

Используем свойство произведения корней одной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{162 \cdot 8}$.

Для упрощения вычислений разложим подкоренные числа на простые множители:

$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$

$8 = 2^3$

Тогда произведение под корнем будет равно $162 \cdot 8 = (2 \cdot 3^4) \cdot 2^3 = 2^{1+3} \cdot 3^4 = 2^4 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3)^4 = 6^4$.

Таким образом, выражение сводится к $\sqrt[4]{6^4} = 6$.

Ответ: $6$.

3) $\sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}}$

Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})}$.

Выражение в скобках под корнем является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{5}$.

$(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16$.

Подставим полученное значение обратно под корень: $\sqrt[4]{16}$.

Так как $16 = 2^4$, то $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: $2$.

4) $\sqrt[4]{108 - 54\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}$

Упростим первый множитель. Для этого представим подкоренное выражение $108 - 54\sqrt{3}$ в виде полного квадрата $(a-b\sqrt{c})^2 = a^2+b^2c - 2ab\sqrt{c}$.

Пусть $108 - 54\sqrt{3} = (x - y\sqrt{3})^2 = x^2 + 3y^2 - 2xy\sqrt{3}$.

Приравнивая соответствующие части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3y^2 = 108 \\ 2xy = 54 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $xy=27$. Методом подбора находим, что пара $x=9, y=3$ является решением. Проверим ее в первом уравнении:

$9^2 + 3 \cdot 3^2 = 81 + 3 \cdot 9 = 81 + 27 = 108$.

Равенство выполняется, следовательно $108 - 54\sqrt{3} = (9 - 3\sqrt{3})^2$.

Тогда первый множитель преобразуется в: $\sqrt[4]{(9 - 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 - 3\sqrt{3}}$. (Мы использовали то, что $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{\sqrt{a^2}} = \sqrt{|a|}$. Так как $9 = \sqrt{81}$, а $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, то $9-3\sqrt{3} > 0$, и знак модуля можно опустить).

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{9 - 3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3}}$.

Объединим под один корень: $\sqrt{(9 - 3\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}$.

Раскроем скобки: $(9 - 3\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3(3 - \sqrt{3})(3+\sqrt{3})$.

Применим формулу разности квадратов: $3(3^2 - (\sqrt{3})^2) = 3(9-3) = 3 \cdot 6 = 18$.

Итоговое значение выражения равно $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3} - 3$ на промежутке $[-3; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке используется следующий алгоритм:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции, входящие в заданный промежуток.
3. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах промежутка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Нахождение производной

Дана функция $y = x^3 - 3$. Найдем ее производную:

$y'(x) = (x^3 - 3)' = 3x^2$.

2. Нахождение критических точек

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Критическая точка одна: $x=0$.

3. Анализ на промежутке $[-3; -2]$

Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=0$ заданному промежутку $[-3; -2]$. Так как $0$ не входит в этот промежуток, экстремумы функции на данном отрезке будут достигаться на его концах.

Также можно отметить, что производная $y' = 3x^2 \ge 0$ при любых значениях $x$. Это означает, что функция $y = x^3 - 3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, и в частности на промежутке $[-3; -2]$. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.

4. Вычисление значений функции на концах промежутка

Вычислим значение функции в точке $x = -3$:

$y(-3) = (-3)^3 - 3 = -27 - 3 = -30$.

Вычислим значение функции в точке $x = -2$:

$y(-2) = (-2)^3 - 3 = -8 - 3 = -11$.

5. Выбор наибольшего и наименьшего значений

Сравнивая полученные значения, $-30$ и $-11$, приходим к выводу:

Наименьшее значение функции на промежутке $[-3; -2]$ равно $-30$.

Наибольшее значение функции на промежутке $[-3; -2]$ равно $-11$.

Ответ: наименьшее значение функции: $-30$; наибольшее значение функции: $-11$.

3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[20]{a^5}$;

2) $\sqrt[4]{a^3}\sqrt[5]{a}$;

3) $\sqrt[8]{(a+9)^8}$, если $a \le -9$;

4) $\sqrt[32]{(a+9)^8}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[20]{a^5}$ воспользуемся свойством корня, которое можно выразить через дробные показатели: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[20]{a^5} = a^{\frac{5}{20}}$
Теперь сократим дробный показатель степени:
$\frac{5}{20} = \frac{5}{5 \cdot 4} = \frac{1}{4}$
Таким образом, получаем:
$a^{\frac{1}{4}}$
Запишем результат обратно в виде корня:
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
Область определения исходного выражения ($\sqrt[20]{a^5}$) требует, чтобы $a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$. Область определения полученного выражения ($\sqrt[4]{a}$) также $a \ge 0$, поэтому преобразование корректно.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$ начнем с преобразования внутреннего выражения.
Внесем множитель $a^3$ под знак корня пятой степени, для этого возведем его в 5-ю степень:
$a^3 \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{(a^3)^5 \cdot a}$
Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[5]{a^{15} \cdot a^1} = \sqrt[5]{a^{16}}$
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$\sqrt[4]{\sqrt[5]{a^{16}}}$
Воспользуемся свойством для вложенных корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n \cdot m]{x}$:
$\sqrt[4 \cdot 5]{a^{16}} = \sqrt[20]{a^{16}}$
Можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 4:
$\sqrt[20]{a^{16}} = \sqrt[20:4]{a^{16:4}} = \sqrt[5]{a^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$

3) Требуется упростить выражение $\sqrt[8]{(a+9)^8}$ при условии, что $a \le -9$.
Для корня четной степени ($n$) из выражения в той же степени существует тождество: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$, когда $n$ — четное число.
В нашем случае $n=8$, что является четным числом, поэтому:
$\sqrt[8]{(a+9)^8} = |a+9|$
Теперь используем заданное условие $a \le -9$. Это условие позволяет определить знак выражения под модулем. Перенесем -9 в левую часть неравенства:
$a+9 \le 0$
Так как выражение $a+9$ является неположительным, по определению модуля $|x| = -x$ для $x \le 0$. Следовательно:
$|a+9| = -(a+9) = -a-9$
Ответ: $-a-9$

4) Упростим выражение $\sqrt[32]{(a+9)^8}$.
Используем свойство $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[32]{(a+9)^8} = (a+9)^{\frac{8}{32}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
Получаем $(a+9)^{\frac{1}{4}}$.
Однако, при упрощении корней четных степеней важно учитывать область определения. Исходное выражение $\sqrt[32]{(a+9)^8}$ определено для любого действительного числа $a$, так как подкоренное выражение $(a+9)^8$ всегда неотрицательно. Выражение $\sqrt[4]{a+9}$ определено только при $a+9 \ge 0$.
Чтобы преобразование было верным для всех $a$, необходимо использовать модуль. Общее правило: если $k$ — четное число, то $\sqrt[nk]{x^{mk}} = \sqrt[n]{|x^m|}$.
В нашем случае $\sqrt[32]{(a+9)^8} = \sqrt[4 \cdot 8]{(a+9)^{1 \cdot 8}}$. Здесь $n=4$, $m=1$, $k=8$ (четное).
Применяя правило, получаем:
$\sqrt[4]{|(a+9)^1|} = \sqrt[4]{|a+9|}$
Этот результат, как и исходное выражение, определен для всех действительных $a$.
Ответ: $\sqrt[4]{|a+9|}$

4. Постройте график функции $y = \sqrt[8]{(x-4)^8} + (\sqrt[8]{x-1})^8$.

Исходная функция: $y = \sqrt[8]{(x-4)^8} + (\sqrt[8]{x-1})^8$.

Для построения графика сначала найдем область определения функции (ОДЗ) и упростим ее выражение.

Первое слагаемое $\sqrt[8]{(x-4)^8}$ определено для любого действительного числа $x$, так как выражение в подкоренном пространстве $(x-4)^8$ всегда неотрицательно. По свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, мы можем упростить это слагаемое: $\sqrt[8]{(x-4)^8} = |x-4|$.

Второе слагаемое $(\sqrt[8]{x-1})^8$ определено только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно: $x-1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. При выполнении этого условия, выражение упрощается до $x-1$.

Областью определения всей функции является пересечение областей определения ее слагаемых, то есть $x \ge 1$.

На этой области определения ($x \ge 1$) функция принимает вид:$y = |x-4| + x-1$.

Теперь раскроем модуль $|x-4|$. Выражение $x-4$ равно нулю при $x=4$. Рассмотрим два случая в пределах ОДЗ.

1. Если $1 \le x < 4$, то выражение $x-4$ отрицательно, следовательно, $|x-4| = -(x-4) = 4-x$. Функция на этом промежутке: $y = (4-x) + (x-1) = 3$.

2. Если $x \ge 4$, то выражение $x-4$ неотрицательно, следовательно, $|x-4| = x-4$. Функция на этом промежутке: $y = (x-4) + (x-1) = 2x-5$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:$y = \begin{cases} 3, & \text{если } 1 \le x < 4 \\ 2x-5, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

Построим график этой функции.

На промежутке $[1, 4)$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $y=3$. Начало отрезка в точке $(1, 3)$ (точка закрашена), конец — в точке $(4, 3)$ (точка выколота).

На промежутке $[4, \infty)$ график представляет собой луч, заданный уравнением $y=2x-5$. Найдем начальную точку луча при $x=4$: $y = 2 \cdot 4 - 5 = 3$. Начало луча находится в точке $(4, 3)$. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от предыдущего участка, делая функцию непрерывной. Для построения луча найдем еще одну точку, принадлежащую ему, например, при $x=5$: $y = 2 \cdot 5 - 5 = 5$. Луч проходит через точки $(4, 3)$ и $(5, 5)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух частей: горизонтального отрезка прямой $y=3$, начинающегося в точке $(1, 3)$ и заканчивающегося в точке $(4, 3)$ (точка $(1,3)$ включена), и луча $y=2x-5$, выходящего из точки $(4, 3)$ и проходящего, например, через точку $(5, 5)$.

5. Внесите множитель под знак корня:

1) $(a+6)\sqrt[10]{a+5};$

2) $(4-n)\sqrt[14]{n-2}.$

1) $(a+6)\sqrt[10]{a+5}$

Для того чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести его в степень, равную показателю корня. Показатель корня в данном случае равен 10, это четное число. При внесении множителя под корень четной степени необходимо учитывать знак этого множителя.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным:

$a+5 \ge 0$, откуда $a \ge -5$.

Теперь определим знак множителя $(a+6)$ на области допустимых значений. Если $a \ge -5$, то $a+6 \ge -5+6$, то есть $a+6 \ge 1$. Следовательно, множитель $(a+6)$ всегда положителен в ОДЗ.

Поскольку множитель $(a+6)$ положителен, мы можем внести его под знак корня, возведя в 10-ю степень, без изменения знака перед корнем:

$(a+6)\sqrt[10]{a+5} = \sqrt[10]{(a+6)^{10}(a+5)}$

Ответ: $\sqrt[10]{(a+6)^{10}(a+5)}$

2) $(4-n)\sqrt[14]{n-2}$

Показатель корня равен 14, это четное число. Найдем ОДЗ для выражения:

$n-2 \ge 0$, откуда $n \ge 2$.

Знак множителя $(4-n)$ зависит от значения $n$ в области допустимых значений. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Множитель $(4-n)$ неотрицателен.

$4-n \ge 0 \implies n \le 4$.

С учетом ОДЗ ($n \ge 2$), этот случай соответствует промежутку $2 \le n \le 4$.

На этом промежутке, так как множитель неотрицателен, вносим его под корень, возведя в 14-ю степень:

$(4-n)\sqrt[14]{n-2} = \sqrt[14]{(4-n)^{14}(n-2)}$

Случай 2: Множитель $(4-n)$ отрицателен.

$4-n < 0 \implies n > 4$.

Этот случай соответствует промежутку $n > 4$ (что входит в ОДЗ $n \ge 2$).

Если множитель отрицателен, то при внесении его под корень четной степени перед корнем ставится знак «минус», а под корень вносится модуль этого множителя (или, что то же самое, множитель с противоположным знаком), возведенный в степень корня. Общее правило: $b \sqrt[k]{A} = -\sqrt[k]{(-b)^k A}$, если $b<0$ и $k$ - четное.

В нашем случае $b = 4-n$, тогда $-b = -(4-n) = n-4$.

$(4-n)\sqrt[14]{n-2} = -\sqrt[14]{(-(4-n))^{14}(n-2)} = -\sqrt[14]{(n-4)^{14}(n-2)}$

Объединяя оба случая, получаем итоговый ответ.

Ответ: $\sqrt[14]{(4-n)^{14}(n-2)}$ при $2 \le n \le 4$; $-\sqrt[14]{(n-4)^{14}(n-2)}$ при $n > 4$.

6. Упростите выражение

$\left( \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[4]{a}-16} + \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[4]{a}-8\sqrt[8]{a}+16} \right) \cdot \frac{\left( 4-\sqrt[8]{a} \right)^2}{2\sqrt[8]{a}} - \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a}+4}$

Для упрощения данного выражения введем замену. Пусть $x = \sqrt[8]{a}$. Тогда $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2 = x^2$.

Подставив $x$ в исходное выражение, получим:

$\left( \frac{x}{x^2 - 16} + \frac{x}{x^2 - 8x + 16} \right) \cdot \frac{(4 - x)^2}{2x} - \frac{x}{x + 4}$

Теперь будем упрощать выражение по действиям.

1. Выполним сложение в скобках.

Для этого разложим знаменатели дробей на множители. Знаменатель первой дроби является разностью квадратов, а второй — полным квадратом разности:

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$

$x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-4)^2(x+4)$ и сложим их:

$\frac{x}{(x-4)(x+4)} + \frac{x}{(x-4)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-4)^2(x+4)} + \frac{x(x+4)}{(x-4)^2(x+4)}$

Сложим числители:

$\frac{x(x-4) + x(x+4)}{(x-4)^2(x+4)} = \frac{x^2 - 4x + x^2 + 4x}{(x-4)^2(x+4)} = \frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)}$

2. Выполним умножение.

Умножим результат первого действия на дробь $\frac{(4 - x)^2}{2x}$.

Заметим, что $(4-x)^2 = (-(x-4))^2 = (x-4)^2$.

$\frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)} \cdot \frac{(4 - x)^2}{2x} = \frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)} \cdot \frac{(x-4)^2}{2x}$

Сократим общие множители $(x-4)^2$ и $2x$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot x \cdot x \cdot (x-4)^2}{(x-4)^2 \cdot (x+4) \cdot 2 \cdot x} = \frac{x}{x+4}$

3. Выполним вычитание.

Подставим результат умножения в наше выражение и выполним последнее действие:

$\frac{x}{x+4} - \frac{x}{x+4} = 0$

Таким образом, значение исходного выражения равно 0.

Ответ: $0$

7. Определите количество корней уравнения $(x - a)($ $\sqrt[6]{x} - 2) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Исходное уравнение $(x - a)(\sqrt[6]{x} - 2) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии выполнения области допустимых значений (ОДЗ).

Определение ОДЗ

В уравнении присутствует корень четной степени $\sqrt[6]{x}$. По определению корня четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Это и есть ОДЗ для данного уравнения. Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. Это приводит к совокупности уравнений, решения которой должны принадлежать ОДЗ: $ \left[ \begin{array}{l} x - a = 0 \\ \sqrt[6]{x} - 2 = 0 \end{array} \right. $

Рассмотрим каждое уравнение из совокупности:

Из уравнения $\sqrt[6]{x} - 2 = 0$ следует, что $\sqrt[6]{x} = 2$. Возведя обе части в шестую степень, получаем корень: $x_1 = 2^6 = 64$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $64 \ge 0$. Следовательно, $x = 64$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

Из уравнения $x - a = 0$ следует, что $x_2 = a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ, то есть должно выполняться условие $a \ge 0$. Если $a < 0$, то $x=a$ не является корнем исходного уравнения.

Анализ количества корней

Теперь определим, сколько различных корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$. У нас есть один безусловный корень $x_1 = 64$ и второй возможный корень $x_2 = a$.

1. Если $a < 0$

В этом случае $x_2 = a$ не удовлетворяет ОДЗ ($a < 0$). Поэтому уравнение имеет только один корень: $x_1 = 64$.

2. Если $a \ge 0$

В этом случае $x_2 = a$ удовлетворяет ОДЗ, и у нас есть два корня: $x_1 = 64$ и $x_2 = a$. Количество различных корней зависит от того, совпадают ли эти значения.

- Если $a = 64$, то $x_1 = x_2 = 64$. В этом случае корни совпадают, и уравнение имеет ровно один корень.

- Если $a \ge 0$ и $a \neq 64$ (то есть $a \in [0, 64) \cup (64, +\infty)$), то корни $x_1=64$ и $x_2=a$ различны. В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Итог

Объединим полученные результаты:

• Уравнение имеет один корень, если $a < 0$ (корень $x=64$) или если $a=64$ (корень $x=64$).
• Уравнение имеет два корня, если $a \ge 0$ и $a \neq 64$ (корни $x=64$ и $x=a$).

Ответ: если $a < 0$ или $a=64$, то уравнение имеет один корень; если $a \in [0, 64) \cup (64, +\infty)$, то уравнение имеет два корня.