Страница 115 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 10

Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Упростите выражение $a^{\frac{1}{4}} (a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$

1. Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить алгебраические преобразования: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$.

Сначала раскроем первую часть выражения, умножив $a^{\frac{1}{4}}$ на содержимое скобок:

$a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) = a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{4}} \cdot 2 = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}$.

Затем раскроем вторую часть выражения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^{\frac{1}{4}} + 2)^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^2 = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4 = a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4)$.

Раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед второй скобкой:

$a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}} - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) + (-2a^{\frac{1}{4}} - 4a^{\frac{1}{4}}) - 4 = 0 - 6a^{\frac{1}{4}} - 4 = -6a^{\frac{1}{4}} - 4$.

Ответ: $-6a^{\frac{1}{4}} - 4$.

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8}}$

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8}}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, то есть $x^2 - 6x + 8 \ne 0$.

Решим неравенство $\frac{9 - x^2}{x^2 - 6x + 8} \ge 0$ методом интервалов. Это решение будет учитывать оба условия.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Приравняем числитель к нулю: $9 - x^2 = 0$.
$(3 - x)(3 + x) = 0$.
Корни числителя: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки войдут в область определения.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые нужно исключить из области определения:
$x^2 - 6x + 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_3 = 2$, $x_4 = 4$. Эти точки не входят в область определения, так как в них знаменатель обращается в ноль.

2. Определим знаки выражения на интервалах.

Нанесём найденные точки на числовую ось, причём точки $x = -3$ и $x = 3$ будут закрашенными, а точки $x = 2$ и $x = 4$ — выколотыми. Ось разобьётся на пять интервалов: $(-\infty; -3]$, $[-3; 2)$, $(2; 3]$, $[3; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения $\frac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 2)(x - 4)}$ в каждом интервале:

• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{(3-5)(3+5)}{(5-2)(5-4)} = \frac{(-)(+)}{(+)(+)} = -$.
• При $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $\frac{(3-3.5)(3+3.5)}{(3.5-2)(3.5-4)} = \frac{(-)(+)}{(+)(-)} = +$.
• При $x \in (2; 3)$, например $x=2.5$: $\frac{(3-2.5)(3+2.5)}{(2.5-2)(2.5-4)} = \frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$.
• При $x \in (-3; 2)$, например $x=0$: $\frac{(3-0)(3+0)}{(0-2)(0-4)} = \frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{(3-(-4))(3+(-4))}{(-4-2)(-4-4)} = \frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$.

3. Сформируем итоговый ответ.

Мы ищем значения $x$, при которых выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также точки, где числитель равен нулю. Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $[-3; 2)$ и $[3; 4)$.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup [3; 4)$.

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x - 1} = x - 2;$

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7;$

3) $\text{ctg}5x\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0.$

1) $\sqrt{2x - 1} = x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств, так как подкоренное выражение и значение корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = (x - 2)^2$

$2x - 1 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 2$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 2$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: $5$.

2) $8\sin^2 2x + 3\sin 4x = 7$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ и основным тригонометрическим тождеством, представив $7$ как $7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$:

$8\sin^2 2x + 3(2\sin 2x \cos 2x) = 7(\sin^2 2x + \cos^2 2x)$

$8\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x = 7\sin^2 2x + 7\cos^2 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные. В результате получим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

$\sin^2 2x + 6\sin 2x \cos 2x - 7\cos^2 2x = 0$

Проверим случай, когда $\cos 2x = 0$. Если это так, то $\sin^2 2x = 1$, и уравнение принимает вид $1 + 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos 2x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} + \frac{6\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{7\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$\tan^2 2x + 6\tan 2x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan 2x$. Получим квадратное уравнение $t^2 + 6t - 7 = 0$. Его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Вернемся к исходной переменной:

а) $\tan 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan 2x = -7 \implies 2x = \arctan(-7) + \pi k \implies x = -\frac{1}{2}\arctan(7) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$; $-\frac{1}{2}\arctan(7) + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{ctg}5x\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0$

ОДЗ уравнения определяется условием существования котангенса: $\sin 5x \ne 0$, что означает $5x \ne \pi k$, или $x \ne \frac{\pi k}{5}$ для любого целого $k$.

Преобразуем уравнение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg}5x = \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$:

$\frac{\cos 5x}{\sin 5x}\cos x + \sin x - \sqrt{2}\cos 4x = 0$

Умножим все члены уравнения на $\sin 5x$ (который не равен нулю в ОДЗ):

$\cos 5x \cos x + \sin 5x \sin x - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

Первые два слагаемых представляют собой формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(5x - x) - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

$\cos 4x - \sqrt{2}\cos 4x \sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 4x$ за скобки:

$\cos 4x (1 - \sqrt{2}\sin 5x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$, где $m \in \mathbb{Z}$. Данная серия корней не противоречит ОДЗ.

б) $1 - \sqrt{2}\sin 5x = 0 \implies \sin 5x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решения этого уравнения имеют вид $5x = (-1)^j \frac{\pi}{4} + \pi j \implies x = \frac{(-1)^j\pi}{20} + \frac{\pi j}{5}$, где $j \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}$; $x = \frac{(-1)^j\pi}{20} + \frac{\pi j}{5}$, где $m, j \in \mathbb{Z}$.

4. Докажите тождество

$(\frac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha}) \cdot \frac{\sin 6\alpha + \sin 14\alpha}{\sin 3\alpha} = 4\cos 4\alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (Л.ч.).

Л.ч. = $(\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)}) \cdot \frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

1. Преобразуем выражение в скобках.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$:

$\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)} = \frac{\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha)}{\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)}$

В числителе используем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$:

$\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha) = \sin(8\alpha - 5\alpha) = \sin(3\alpha)$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, из которой следует, что $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$:

$\sin(5\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(10\alpha)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{\sin(3\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(10\alpha)} = \frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)}$

2. Преобразуем второй множитель.

Второй множитель: $\frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

К числителю применим формулу суммы синусов $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:

$\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha) = \sin(14\alpha) + \sin(6\alpha) = 2\sin(\frac{14\alpha+6\alpha}{2})\cos(\frac{14\alpha-6\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{20\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)$

Таким образом, второй множитель равен:

$\frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

3. Перемножим полученные выражения.

Подставим преобразованные части в исходное выражение:

Л.ч. = $\frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)} \cdot \frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}$

Сократим одинаковые множители $\sin(3\alpha)$ и $\sin(10\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю):

Л.ч. = $\frac{2\cdot 2 \cdot \sin(3\alpha) \cdot \sin(10\alpha) \cdot \cos(4\alpha)}{\sin(10\alpha) \cdot \sin(3\alpha)} = 4\cos(4\alpha)$

Мы получили, что левая часть тождества равна $4\cos(4\alpha)$, что совпадает с его правой частью.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5. Решите неравенство $\sqrt{1-5x} < x+1$.

Данное неравенство $\sqrt{1 - 5x} < x + 1$ является иррациональным неравенством вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Такое неравенство равносильно системе, которая включает в себя область допустимых значений, условие положительности правой части и результат возведения в квадрат обеих частей неравенства:

$ \begin{cases} 1 - 5x \ge 0 \\ x + 1 > 0 \\ 1 - 5x < (x + 1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$1 - 5x \ge 0$
$-5x \ge -1$
$x \le \frac{1}{5}$

2) Правая часть неравенства должна быть строго положительной, так как значение квадратного корня всегда неотрицательно:
$x + 1 > 0$
$x > -1$

3) Поскольку при выполнении условия (2) обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{1 - 5x})^2 < (x + 1)^2$
$1 - 5x < x^2 + 2x + 1$
$0 < x^2 + 2x + 1 - 1 + 5x$
$x^2 + 7x > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x = 0$:
$x(x + 7) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -7$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 7x$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 7x > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть $x < -7$ или $x > 0$.

Теперь необходимо найти общее решение для всех трех условий, то есть пересечение множеств решений:
$ \begin{cases} x \le \frac{1}{5} \\ x > -1 \\ x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) \end{cases} $
Из первых двух неравенств получаем: $-1 < x \le \frac{1}{5}$.
Теперь пересечем этот результат, интервал $(-1; \frac{1}{5}]$, с решением третьего неравенства, множеством $(-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.
Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(-\infty; -7)$ является пустым множеством.
Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(0; +\infty)$ дает интервал $(0; \frac{1}{5}]$.
Объединение этих результатов дает окончательное решение неравенства.

Ответ: $(0; \frac{1}{5}]$

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 6x^2$ и постройте её график.

Для исследования функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ и построения ее графика выполним следующие шаги:

1. Область определения функции

Функция $f(x) = x^3 - 6x^2$ является многочленом (полиномом). Многочлены определены для всех действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции – все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность

Исследуем функцию на четность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 = -x^3 - 6x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) \neq f(x)$, так как $-x^3 - 6x^2 \neq x^3 - 6x^2$.

$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-x^3 - 6x^2 \neq -(x^3 - 6x^2) = -x^3 + 6x^2$.

Так как условия четности $f(-x) = f(x)$ и нечетности $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция является функцией общего вида. Функция не является периодической, так как это многочлен.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ox), для этого приравняем функцию к нулю $f(x)=0$:

$x^3 - 6x^2 = 0$

$x^2(x - 6) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

4. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (4, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.

$f_{max} = f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$. Точка максимума $(0, 0)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$f_{min} = f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32$. Точка минимума $(4, -32)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, +\infty)$. Функция убывает на промежутке $[0, 4]$. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(4, -32)$.

5. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - 12x)' = 6x - 12$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$6x - 12 = 0$

$x = 2$.

Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 2)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (2, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

В точке $x=2$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.

Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 = 8 - 24 = -16$.

Точка перегиба: $(2, -16)$.

Ответ: График функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty, 2]$ и выпуклый вниз на промежутке $[2, +\infty)$. Точка перегиба: $(2, -16)$.

6. Асимптоты графика функции

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.

Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 6x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 6x) = \infty$.

Так как предел не является конечным числом, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Опорные точки для построения графика:

• Пересечение с осями: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
• Точка максимума: $(0, 0)$.
• Точка минимума: $(4, -32)$.
• Точка перегиба: $(2, -16)$.

Используя эти точки и информацию о поведении функции, строим график. График выходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(0, 0)$, затем убывает, проходя через точку перегиба $(2, -16)$, до точки минимума $(4, -32)$, после чего снова возрастает, пересекая ось Ox в точке $(6, 0)$ и уходя в $+\infty$.

Ответ: График построен на основе проведенного исследования. Ключевые точки: $(0, 0)$ - локальный максимум и пересечение с осями; $(6, 0)$ - пересечение с осью Ox; $(4, -32)$ - локальный минимум; $(2, -16)$ - точка перегиба.