Страница 122 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$;

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$;

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$;

4) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$;

5) $\sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x$.

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$4(1 - \cos^2 x) - 8\cos x + 1 = 0$
$4 - 4\cos^2 x - 8\cos x + 1 = 0$
$-4\cos^2 x - 8\cos x + 5 = 0$
$4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0$
Сделаем замену переменной: $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$4t^2 + 8t - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$
$t_{1} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5$
$t_{2} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$
Корень $t_1 = -2.5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как область значений косинуса $[-1, 1]$.
Вернемся к замене для $t_2 = 0.5$:
$\cos x = 0.5$
$x = \pm \arccos(0.5) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:
$2\cos^2 2x - 2(2\sin 2x \cos 2x) + 1 = 0$
$2\cos^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + 1 = 0$
Заменим 1 на $\sin^2 2x + \cos^2 2x$ (основное тригонометрическое тождество):
$2\cos^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + (\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0$
$\sin^2 2x - 4\sin 2x \cos 2x + 3\cos^2 2x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равен нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin^2 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Но $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $\cos 2x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:
$\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{4\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{3\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$
$\tan^2 2x - 4\tan 2x + 3 = 0$
Пусть $y = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Его корни $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\tan 2x = 1$
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
2) $\tan 2x = 3$
$2x = \arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi m}{2}, k, m \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(\cos 7x + \cos 9x) + \cos 8x = 0$
$2\cos\frac{7x+9x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \cos 8x = 0$
$2\cos 8x \cos x + \cos 8x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos 8x$ за скобки:
$\cos 8x(2\cos x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $\cos 8x = 0$
$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$
2) $2\cos x + 1 = 0$
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$1 - \cos x \ne 0 \implies \cos x \ne 1 \implies x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} = 2\sin x$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $2\sin x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} - 2\sin x = 0$
$2\sin x \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 \right) = 0$
Рассмотрим два случая:
1) $\sin x = 0$
$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Учтем ОДЗ ($x \ne 2\pi k$). Решения $x = 2\pi k$ (при четных $n$) не подходят. Подходят решения при нечетных $n$, то есть $n=2k+1$.
$x = (2k+1)\pi = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 = 0$
$\frac{\cos x}{1 - \cos x} = 1$
$\cos x = 1 - \cos x$
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x = \frac{1}{2} \ne 1$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x$

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод вспомогательного угла. Для выражения $a\sin u + b\cos u$ имеем $a=1, b=1$, $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\sin 10x + \cos 10x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 10x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 10x\right)$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:
$\sqrt{2}(\sin 10x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 10x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(10x+\frac{\pi}{4})$
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2}\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\sin 8x$
$\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = -\sin 8x$
Используя нечетность синуса, $-\sin 8x = \sin(-8x)$, получаем:
$\sin(10x+\frac{\pi}{4}) = \sin(-8x)$
Равенство $\sin \alpha = \sin \beta$ выполняется в двух случаях:
1) $\alpha = \beta + 2\pi k$
$10x + \frac{\pi}{4} = -8x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$18x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{72} + \frac{2\pi k}{18}$
$x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$
2) $\alpha = \pi - \beta + 2\pi m$
$10x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-8x) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
$10x + \frac{\pi}{4} = \pi + 8x + 2\pi m$
$2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m$
$2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$
$x = \frac{3\pi}{8} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, x = \frac{3\pi}{8} + \pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

2. Решите неравенство:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3};$

2) $\cos x(\operatorname{ctg} x - 1) < 0.$

1) Решим неравенство $tg(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}) < -\sqrt{3}$.

Введем замену: пусть $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$. Тогда неравенство принимает вид $tg(t) < -\sqrt{3}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, ограниченный асимптотой тангенса и значением арктангенса. Решение уравнения $tg(t) = -\sqrt{3}$ есть $t = arctg(-\sqrt{3}) + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция тангенса меньше $-\sqrt{3}$ на интервалах:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{3} + \pi k$.

Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям двойного неравенства $\frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$
$-\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$
$\frac{2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{3\pi}{6} + \pi k$
$\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Наконец, умножим все части неравенства на 7:
$7 \cdot (\frac{\pi}{3} + \pi k) < x < 7 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k)$
$\frac{7\pi}{3} + 7\pi k < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{7\pi}{3} + 7\pi k; \frac{7\pi}{2} + 7\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $cos(x)(ctg(x) - 1) < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования котангенса: $sin(x) \neq 0$, откуда $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем неравенство, выразив котангенс через синус и косинус:
$cos(x)(\frac{cos(x)}{sin(x)} - 1) < 0$
$cos(x)(\frac{cos(x) - sin(x)}{sin(x)}) < 0$
$\frac{cos(x)(cos(x) - sin(x))}{sin(x)} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов на тригонометрической окружности. Найдем нули числителя и знаменателя на промежутке $[0, 2\pi)$.
1. Нули числителя:
$cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{3\pi}{2}$.
$cos(x) - sin(x) = 0 \implies cos(x) = sin(x) \implies tg(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}$.
2. Нули знаменателя (точки разрыва):
$sin(x) = 0 \implies x = 0, x = \pi$.

Отметим эти точки на числовой окружности: $0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}$. Они разбивают окружность на 6 интервалов. Определим знак выражения $f(x) = \frac{cos(x)(cos(x) - sin(x))}{sin(x)}$ в каждом интервале.

• Интервал $(0, \frac{\pi}{4})$: $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• Интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Подходит.
• Интервал $(\frac{\pi}{2}, \pi)$: $f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
• Интервал $(\pi, \frac{5\pi}{4})$: $f(\frac{7\pi}{6}) = \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Подходит.
• Интервал $(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$: $f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{(-)(+)}{(-)} > 0$.
• Интервал $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$: $f(\frac{11\pi}{6}) = \frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Подходит.

Таким образом, на промежутке $[0, 2\pi)$ решениями являются интервалы $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, $(\pi, \frac{5\pi}{4})$ и $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

Учитывая периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$), запишем общее решение:
$x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\pi + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi(k+1)), k \in \mathbb{Z}$.

3. Вычислите $ \arcsin(\sin 14) $.

По определению, значение функции арксинус, $y = \arcsin(x)$, должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha$, что $\sin(\alpha) = \sin(14)$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Число 14 (подразумеваются радианы) не принадлежит этому отрезку, так как $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$, и очевидно, что $14 > 1.57$.

Для нахождения искомого числа $\alpha$ воспользуемся свойствами функции синус. Мы знаем, что синусы двух углов равны, если эти углы либо равны с точностью до периода $2\pi$, либо их сумма равна $\pi$ с точностью до периода $2\pi$. То есть, $\sin(x) = \sin(y)$ тогда и только тогда, когда $y = x + 2k\pi$ или $y = \pi - x + 2k\pi$ для некоторого целого числа $k$.

Нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы одно из выражений, $14 + 2k\pi$ или $\pi - 14 + 2k\pi$, попало в интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Рассмотрим первый случай: ищем такое целое $k$, что $-\frac{\pi}{2} \le 14 + 2k\pi \le \frac{\pi}{2}$.

Вычтем 14 из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - 14 \le 2k\pi \le \frac{\pi}{2} - 14$

Разделим все части на $2\pi$:

$-\frac{1}{4} - \frac{7}{\pi} \le k \le \frac{1}{4} - \frac{7}{\pi}$

Приближенно вычислим границы, используя $\pi \approx 3.14$:

$-0.25 - \frac{7}{3.14} \le k \le 0.25 - \frac{7}{3.14}$

$-0.25 - 2.23 \le k \le 0.25 - 2.23$

$-2.48 \le k \le -1.98$

Единственное целое число в этом интервале — это $k=-2$.

Подставим $k=-2$ в выражение: $\alpha = 14 + 2(-2)\pi = 14 - 4\pi$.

Проверим, что это значение действительно находится в нужном отрезке: $14 - 4\pi \approx 14 - 4 \times 3.14159 = 14 - 12.56636 = 1.43364$.

Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то значение $1.43364$ действительно принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Таким образом, мы нашли искомое значение: $\arcsin(\sin 14) = \arcsin(\sin(14 - 4\pi)) = 14 - 4\pi$.

(Проверка второго случая, $\alpha = \pi - 14 + 2k\pi$, покажет, что для него не существует подходящего целого $k$).

Ответ: $14 - 4\pi$

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x - (a+2)\cos x + 3a - 3 = 0$ имеет решения?

Данное уравнение $ \cos^2x - (a + 2)\cos x + 3a - 3 = 0 $ является квадратным уравнением относительно $ \cos x $.
Введем замену переменной: пусть $ t = \cos x $. Так как множество значений функции косинуса есть отрезок $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.
После замены уравнение принимает вид:
$ t^2 - (a + 2)t + 3a - 3 = 0 $
Исходное тригонометрическое уравнение будет иметь решения в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $ [-1, 1] $.

Решим квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его дискриминант:
$ D = (-(a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a - 3) = (a^2 + 4a + 4) - (12a - 12) = a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2 $.
Поскольку дискриминант $ D = (a - 4)^2 \ge 0 $ при любых действительных значениях $ a $, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни можно найти по формуле, но в данном случае их легко угадать. Заметим, что если сгруппировать слагаемые с параметром $a$, уравнение можно переписать в виде $ t^2 - 2t - 3 - at + 3a = 0 $, или $ (t-3)(t+1) - a(t-3) = 0 $, что дает $ (t-3)(t+1-a) = 0 $. Отсюда получаем корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = a - 1 $.

Теперь вернемся к условию $ t \in [-1, 1] $. Исходное уравнение имеет решения, если хотя бы один из найденных корней $ t_1 $ или $ t_2 $ принадлежит этому отрезку.
Корень $ t_1 = 3 $ не удовлетворяет условию, так как $ 3 > 1 $. Уравнение $ \cos x = 3 $ решений не имеет.
Следовательно, для наличия решений необходимо, чтобы второй корень $ t_2 = a - 1 $ принадлежал отрезку $ [-1, 1] $.

Получаем двойное неравенство:
$ -1 \le a - 1 \le 1 $
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$ -1 + 1 \le a \le 1 + 1 $
$ 0 \le a \le 2 $
Таким образом, уравнение имеет решения при значениях параметра $ a $ из отрезка $ [0, 2] $.

Ответ: $a \in [0, 2]$.