Номер 4, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\cos^2 x - (a+2)\cos x + 3a - 3 = 0$ имеет решения?

Данное уравнение $ \cos^2x - (a + 2)\cos x + 3a - 3 = 0 $ является квадратным уравнением относительно $ \cos x $.
Введем замену переменной: пусть $ t = \cos x $. Так как множество значений функции косинуса есть отрезок $ [-1, 1] $, то для переменной $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.
После замены уравнение принимает вид:
$ t^2 - (a + 2)t + 3a - 3 = 0 $
Исходное тригонометрическое уравнение будет иметь решения в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $ [-1, 1] $.

Решим квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его дискриминант:
$ D = (-(a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a - 3) = (a^2 + 4a + 4) - (12a - 12) = a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2 $.
Поскольку дискриминант $ D = (a - 4)^2 \ge 0 $ при любых действительных значениях $ a $, уравнение всегда имеет действительные корни.
Корни можно найти по формуле, но в данном случае их легко угадать. Заметим, что если сгруппировать слагаемые с параметром $a$, уравнение можно переписать в виде $ t^2 - 2t - 3 - at + 3a = 0 $, или $ (t-3)(t+1) - a(t-3) = 0 $, что дает $ (t-3)(t+1-a) = 0 $. Отсюда получаем корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = a - 1 $.

Теперь вернемся к условию $ t \in [-1, 1] $. Исходное уравнение имеет решения, если хотя бы один из найденных корней $ t_1 $ или $ t_2 $ принадлежит этому отрезку.
Корень $ t_1 = 3 $ не удовлетворяет условию, так как $ 3 > 1 $. Уравнение $ \cos x = 3 $ решений не имеет.
Следовательно, для наличия решений необходимо, чтобы второй корень $ t_2 = a - 1 $ принадлежал отрезку $ [-1, 1] $.

Получаем двойное неравенство:
$ -1 \le a - 1 \le 1 $
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$ -1 + 1 \le a \le 1 + 1 $
$ 0 \le a \le 2 $
Таким образом, уравнение имеет решения при значениях параметра $ a $ из отрезка $ [0, 2] $.

Ответ: $a \in [0, 2]$.