Номер 1, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8

Производная. Уравнение касательной

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x;$

2) $f(x) = (2-5x)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2};$

4) $f(x) = \cos^5 4x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (3x^6 + \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 5x)' = (3x^6)' + (\frac{1}{4}x^4)' - (2x^2)' + (5x)'$

Применяем правило для каждого слагаемого:

$f'(x) = 3 \cdot 6x^{6-1} + \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1}$

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5 \cdot x^0$

Так как $x^0 = 1$, получаем:

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$

Ответ: $f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

2) Дана функция $f(x) = (2-5x)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2-5x$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2-5x)' = 0 - 5 = -5$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -5 \cdot \sqrt{x} + (2-5x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = -5\sqrt{x} + \frac{2-5x}{2\sqrt{x}}$

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{-5\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{2-5x}{2\sqrt{x}} = \frac{-10x + 2 - 5x}{2\sqrt{x}} = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного двух функций $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x+2$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$

$v'(x) = (x+2)' = 1$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x-8)(x+2) - (x^2-8x) \cdot 1}{(x+2)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 8x - 16 - x^2 + 8x}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^2 - x^2) + (4x - 8x + 8x) - 16}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos^5(4x)$.

Это сложная функция. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить как $y(u) = u^5$, где $u(v) = \cos(v)$, а $v(x) = 4x$.

Производная сложной функции $(y(u(v(x))))'$ находится как произведение производных $y'(u) \cdot u'(v) \cdot v'(x)$.

$f'(x) = (\cos^5(4x))'$

Сначала дифференцируем внешнюю степенную функцию:

$f'(x) = 5\cos^{5-1}(4x) \cdot (\cos(4x))'$

Затем дифференцируем функцию косинуса:

$f'(x) = 5\cos^4(4x) \cdot (-\sin(4x)) \cdot (4x)'$

И, наконец, дифференцируем внутреннюю функцию:

$f'(x) = 5\cos^4(4x) \cdot (-\sin(4x)) \cdot 4$

Перемножим числовые коэффициенты:

$f'(x) = -20\cos^4(4x)\sin(4x)$

Ответ: $f'(x) = -20\sin(4x)\cos^4(4x)$.