Номер 1, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9

Применение производной

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x$;

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x}$;

3) $f(x) = x - \sqrt{2} \sin x$.

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^3 - x^2 - x)' = 3x^2 - 2x - 1$.

3. Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $f'(x)$ является многочленом, она существует при всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Критические точки: $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.

• При $x \in (-\infty, -1/3)$, например $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• При $x \in (-1/3, 1)$, например $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на этом промежутке.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

5. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = -1/3$ знак производной меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума: $x_{max} = -1/3$.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это точка минимума: $x_{min} = 1$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1/3]$ и $[1, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1/3, 1]$. Точка максимума: $x_{max} = -1/3$. Точка минимума: $x_{min} = 1$.

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x}$

1. Найдём область определения функции. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.

Область определения: $D(f) = (-\infty, 12]$.

2. Найдём производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot \sqrt{12-x} + x \cdot (\sqrt{12-x})' = 1 \cdot \sqrt{12-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{12-x}} \cdot (12-x)'$

$f'(x) = \sqrt{12-x} - \frac{x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{2(12-x) - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 2x - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12-x}}$.

3. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда её числитель равен нулю:

$24 - 3x = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8$.

Производная не существует, когда её знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{12 - x} = 0 \implies 12 - x = 0 \implies x = 12$.

Критические точки: $x = 8$ и $x = 12$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Эти точки делят область определения на два интервала: $(-\infty, 8)$ и $(8, 12)$. Определим знак производной на каждом из них. Знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $(24 - 3x)$, так как знаменатель $2\sqrt{12-x}$ положителен при $x<12$.

• При $x \in (-\infty, 8)$, например $x=0$: $24 - 3(0) = 24 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
• При $x \in (8, 12)$, например $x=10$: $24 - 3(10) = -6 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = 8$ знак производной меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума: $x_{max} = 8$.
• Точка $x = 12$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на промежутке $[8, 12]$, в этой точке достигается локальный минимум: $x_{min} = 12$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 8]$. Промежуток убывания: $[8, 12]$. Точка максимума: $x_{max} = 8$. Точка минимума: $x_{min} = 12$.

3) $f(x) = x - \sqrt{2} \sin x$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как и $x$, и $\sin x$ определены для всех $x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x - \sqrt{2} \sin x)' = 1 - \sqrt{2} \cos x$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \implies \sqrt{2} \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого тригонометрического уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.

Функция возрастает, если $f'(x) > 0$:

$1 - \sqrt{2} \cos x > 0 \implies 1 > \sqrt{2} \cos x \implies \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, если $f'(x) < 0$:

$1 - \sqrt{2} \cos x < 0 \implies 1 < \sqrt{2} \cos x \implies \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдём точки экстремума.

• В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ знак производной меняется с минуса на плюс (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, это точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• В точках $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi m$) знак производной меняется с плюса на минус (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, это точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.