Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9

Применение производной

1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x$;

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x}$;

3) $f(x) = x - \sqrt{2} \sin x$.

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^3 - x^2 - x)' = 3x^2 - 2x - 1$.

3. Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $f'(x)$ является многочленом, она существует при всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Критические точки: $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.

• При $x \in (-\infty, -1/3)$, например $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• При $x \in (-1/3, 1)$, например $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на этом промежутке.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

5. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = -1/3$ знак производной меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума: $x_{max} = -1/3$.
• В точке $x = 1$ знак производной меняется с минуса на плюс, значит, это точка минимума: $x_{min} = 1$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1/3]$ и $[1, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1/3, 1]$. Точка максимума: $x_{max} = -1/3$. Точка минимума: $x_{min} = 1$.

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x}$

1. Найдём область определения функции. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.

Область определения: $D(f) = (-\infty, 12]$.

2. Найдём производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot \sqrt{12-x} + x \cdot (\sqrt{12-x})' = 1 \cdot \sqrt{12-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{12-x}} \cdot (12-x)'$

$f'(x) = \sqrt{12-x} - \frac{x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{2(12-x) - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 2x - x}{2\sqrt{12-x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12-x}}$.

3. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда её числитель равен нулю:

$24 - 3x = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8$.

Производная не существует, когда её знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{12 - x} = 0 \implies 12 - x = 0 \implies x = 12$.

Критические точки: $x = 8$ и $x = 12$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Эти точки делят область определения на два интервала: $(-\infty, 8)$ и $(8, 12)$. Определим знак производной на каждом из них. Знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $(24 - 3x)$, так как знаменатель $2\sqrt{12-x}$ положителен при $x<12$.

• При $x \in (-\infty, 8)$, например $x=0$: $24 - 3(0) = 24 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
• При $x \in (8, 12)$, например $x=10$: $24 - 3(10) = -6 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

5. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = 8$ знак производной меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума: $x_{max} = 8$.
• Точка $x = 12$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на промежутке $[8, 12]$, в этой точке достигается локальный минимум: $x_{min} = 12$.

Ответ: Промежуток возрастания: $(-\infty, 8]$. Промежуток убывания: $[8, 12]$. Точка максимума: $x_{max} = 8$. Точка минимума: $x_{min} = 12$.

3) $f(x) = x - \sqrt{2} \sin x$

1. Область определения функции — все действительные числа, так как и $x$, и $\sin x$ определены для всех $x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x - \sqrt{2} \sin x)' = 1 - \sqrt{2} \cos x$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$1 - \sqrt{2} \cos x = 0 \implies \sqrt{2} \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого тригонометрического уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками.

Функция возрастает, если $f'(x) > 0$:

$1 - \sqrt{2} \cos x > 0 \implies 1 > \sqrt{2} \cos x \implies \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, если $f'(x) < 0$:

$1 - \sqrt{2} \cos x < 0 \implies 1 < \sqrt{2} \cos x \implies \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдём точки экстремума.

• В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ знак производной меняется с минуса на плюс (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, это точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• В точках $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi m$) знак производной меняется с плюса на минус (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, это точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Промежутки убывания: $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 |x + 3|$ на промежутке $[-4; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2|x+3|$ на промежутке $[-4; 1]$, необходимо исследовать её поведение на этом промежутке. Функция непрерывна, поэтому её наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах промежутка, либо в критических точках внутри него.

Сначала раскроем модуль, так как его значение зависит от знака выражения $x+3$.

1. При $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. На промежутке $[-3; 1]$ функция имеет вид:
$f(x) = x^2(x+3) = x^3 + 3x^2$.

2. При $x+3 < 0$, то есть $x < -3$. На промежутке $[-4; -3)$ функция имеет вид:
$f(x) = x^2(-(x+3)) = -x^3 - 3x^2$.

Теперь найдём критические точки функции – точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Для интервала $x \in (-3; 1)$ производная равна:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$.
Приравняем производную к нулю: $3x(x+2) = 0$. Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку $[-4; 1]$.

Для интервала $x \in (-4; -3)$ производная равна:
$f'(x) = (-x^3 - 3x^2)' = -3x^2 - 6x = -3x(x+2)$.
Приравняем производную к нулю: $-3x(x+2) = 0$. Корни $x=0$ и $x=-2$ не принадлежат интервалу $(-4; -3)$, поэтому на этом интервале стационарных точек нет.

Рассмотрим точку $x=-3$, где меняется определение функции. В таких точках производная может не существовать. Найдем односторонние производные:
Производная слева: $f'_-(-3) = -3(-3)^2 - 6(-3) = -27 + 18 = -9$.
Производная справа: $f'_+(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9$.
Так как $f'_-(-3) \ne f'_+(-3)$, производная в точке $x=-3$ не существует, следовательно, $x=-3$ является критической точкой.

Итак, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нам нужно вычислить значения функции в критических точках ($x=-3$, $x=-2$, $x=0$) и на концах отрезка ($x=-4$, $x=1$).

• $f(-4) = (-4)^2 \cdot |-4+3| = 16 \cdot |-1| = 16$
• $f(-3) = (-3)^2 \cdot |-3+3| = 9 \cdot 0 = 0$
• $f(-2) = (-2)^2 \cdot |-2+3| = 4 \cdot |1| = 4$
• $f(0) = 0^2 \cdot |0+3| = 0 \cdot 3 = 0$
• $f(1) = 1^2 \cdot |1+3| = 1 \cdot 4 = 4$

Сравнивая полученные значения $\{16, 0, 4, 0, 4\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение функции: $\max_{[-4;1]} f(x) = 16$.
Наименьшее значение функции: $\min_{[-4;1]} f(x) = 0$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке равно 16, наименьшее значение равно 0.

3. Найдите такое положительное число, что разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из этого числа принимает наименьшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. Согласно условию задачи, $x > 0$.

Разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из него можно выразить в виде функции $f(x)$:
$f(x) = x - 2\sqrt{x}$

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ эта разность принимает наименьшее значение, необходимо найти точку минимума функции $f(x)$ на интервале $(0, +\infty)$. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - 2\sqrt{x})' = (x - 2x^{1/2})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$
$1 = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$\sqrt{x} = 1$
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем:
$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, исследуем знак производной слева и справа от нее.
- На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.25$:
$f'(0.25) = 1 - \frac{1}{\sqrt{0.25}} = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 4$:
$f'(4) = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=1$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, то в ней функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения.

Следовательно, искомое положительное число равно 1.

Ответ: 1

4. Исследуйте функцию $f(x) = 2x^2 - x^4$ и постройте её график.

1. Область определения функции
Функция $f(x) = 2x^2 - x^4$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и периодичность
Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функция не является периодической.
Ответ: Функция четная, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат
С осью Oy (x=0):
$y = f(0) = 2 \cdot 0^2 - 0^4 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
С осью Ox (y=0):
$2x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(2 - x^2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$. Точки пересечения: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства
Определим знаки функции $f(x) = x^2(2-x^2)$ на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции.
$f(x) > 0$ при $2-x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, исключая $x=0$.
$f(x) < 0$ при $2-x^2 < 0 \Rightarrow x^2 > 2 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

5. Асимптоты
Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
Наклонные асимптоты ($y=kx+b$):
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 - x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (2x - x^3) = \mp\infty$.
Так как предел не является конечным числом, наклонные (и горизонтальные) асимптоты отсутствуют.
Ответ: Асимптот у графика функции нет.

6. Исследование на монотонность и экстремумы
Найдем первую производную: $f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Найдем критические точки из условия $f'(x) = 0$:
$4x - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -1, x_3 = 1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- $(-\infty, -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
- $(-1, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает ($\searrow$).
- $(0, 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает ($\nearrow$).
- $(1, +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает ($\searrow$).
В точке $x=-1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 1$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Функция убывает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки максимума: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка минимума: $(0, 0)$.

7. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Найдем вторую производную: $f''(x) = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.
Найдем точки перегиба из условия $f''(x) = 0$:
$4 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Исследуем знак второй производной:
- $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (concave down).
- $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$: $f''(x) > 0$, график вогнутый (concave up).
- $(\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (concave down).
Найдем ординаты точек перегиба: $y(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: График функции является выпуклым вверх на $(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ и вогнутым на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9})$.

8. Построение графика
На основе проведенного исследования строим график. Основные точки:
- Пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$; $(0, 0)$; $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$.
- Экстремумы: максимумы $(-1, 1)$ и $(1, 1)$; минимум $(0, 0)$.
- Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$; $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.
График симметричен относительно оси Oy. Начиная с $-\infty$, функция возрастает до точки максимума $(-1,1)$, затем убывает до точки минимума $(0,0)$, далее возрастает до второго максимума $(1,1)$ и после этого убывает до $-\infty$. На участках от $-\infty$ до точки перегиба $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ и от $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ до $+\infty$ график выпуклый вверх, а между точками перегиба — вогнутый. График имеет форму буквы "М".
Ответ: График функции построен на основе ключевых точек и проведенного анализа.

5. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = -1$ является точкой минимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x$?

Для того чтобы точка $x_0 = -1$ являлась точкой минимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x$, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось необходимое условие экстремума, а именно, чтобы первая производная функции обращалась в ноль: $f'(x_0) = 0$.

Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x\right)' = \frac{a}{3} \cdot 3x^2 + 2x + a^2 = ax^2 + 2x + a^2$.

Применим необходимое условие, подставив $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = a(-1)^2 + 2(-1) + a^2 = 0$

$a - 2 + a^2 = 0$

$a^2 + a - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$. Корни можно найти по теореме Виета. Произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Следовательно, корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, при каком из этих значений параметра $a$ в точке $x_0 = -1$ действительно достигается минимум. Для этого воспользуемся достаточным условием минимума. Точка $x_0$ является точкой минимума, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке положительна, то есть $f''(x_0) > 0$.

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (ax^2 + 2x + a^2)' = 2ax + 2$.

Рассмотрим каждый из найденных корней.

При $a=1$, значение второй производной в точке $x_0 = -1$ равно:

$f''(-1) = 2(1)(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$.

В этом случае признак со второй производной не дает ответа о характере экстремума. Исследуем знак первой производной в окрестности точки $x = -1$. При $a=1$ первая производная имеет вид: $f'(x) = 1 \cdot x^2 + 2x + 1^2 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ при всех $x$, производная не меняет знак при переходе через точку $x=-1$. Она неотрицательна как слева, так и справа от этой точки. Следовательно, при $a=1$ точка $x_0 = -1$ не является точкой экстремума (это точка перегиба), а значит, и не является точкой минимума.

При $a=-2$, значение второй производной в точке $x_0 = -1$ равно:

$f''(-1) = 2(-2)(-1) + 2 = 4 + 2 = 6$.

Так как $f''(-1) = 6 > 0$, то при $a=-2$ точка $x_0 = -1$ является точкой локального минимума.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.