Страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 10

Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Упростите выражение $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}}-4) - (b^{\frac{1}{6}}-2)^2$.

Для упрощения выражения $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) - (b^{\frac{1}{6}} - 2)^2$ выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом, умножив $b^{\frac{1}{6}}$ на каждый член в скобках:

$$b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) = b^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}} - 4 \cdot b^{\frac{1}{6}}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), поэтому:

$$b^{\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}$$

2. Раскроем вторую часть выражения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = b^{\frac{1}{6}}$ и $b = 2$:

$$(b^{\frac{1}{6}} - 2)^2 = (b^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{1}{6}} \cdot 2 + 2^2$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), поэтому:

$$b^{\frac{1}{6} \cdot 2} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4 = b^{\frac{2}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4 = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4$$

3. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$$(b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}) - (b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4)$$

4. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов внутри на противоположные:

$$b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{1}{6}} - 4$$

5. Приведем подобные слагаемые:

$$(b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) + (-4b^{\frac{1}{6}} + 4b^{\frac{1}{6}}) - 4$$

Все члены с переменной $b$ взаимно уничтожаются:

$$0 + 0 - 4 = -4$$

Ответ: -4.

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем нули числителя:

$x^2 - 16 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения (в них дробь равна нулю).

2. Найдем нули знаменателя:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$.

Эти точки должны быть исключены из области определения, так как в них знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

3. Нанесем найденные точки на числовую ось, отмечая нули числителя (-4 и 4) закрашенными кружками, а нули знаменателя (1 и 5) — выколотыми. Эти точки разбивают ось на пять интервалов:

$(-\infty; -4], [-4; 1), (1; 4], [4; 5), (5; +\infty)$

4. Определим знак выражения $\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}$ в каждом из интервалов, подставив в него любое значение из этого интервала.

• При $x > 5$ (например, $x=10$): $\frac{100-16}{-100+60-5} = \frac{84}{-45} < 0$.
• При $x \in (4; 5)$ (например, $x=4.5$): $\frac{4.5^2-16}{-4.5^2+6 \cdot 4.5 - 5} = \frac{20.25-16}{-20.25+27-5} = \frac{4.25}{1.75} > 0$.
• При $x \in (1; 4)$ (например, $x=2$): $\frac{4-16}{-4+12-5} = \frac{-12}{3} < 0$.
• При $x \in (-4; 1)$ (например, $x=0$): $\frac{0-16}{0+0-5} = \frac{-16}{-5} > 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{25-16}{-25-30-5} = \frac{9}{-60} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервалы $(-4; 1)$ и $(4; 5)$, а также точки, где числитель равен нулю ($x=-4, x=4$).

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции.

Ответ: $x \in [-4; 1) \cup [4; 5)$.

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x + 1} = x - 1;$

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5;$

3) $\text{tg } 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2} \sin 3x = 0.$

1) $\sqrt{3x + 1} = x - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases}$.

Из системы следует, что ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2$

$3x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: $5$.

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\sin 8x$ и основное тригонометрическое тождество, представив $5$ как $5 \cdot 1 = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$.

$6\cos^2 4x + 2(2\sin 4x \cos 4x) = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

$6\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x = 5\sin^2 4x + 5\cos^2 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение:

$6\cos^2 4x - 5\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x - 5\sin^2 4x = 0$

$\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x - 5\sin^2 4x = 0$

Убедимся, что $\cos 4x \ne 0$. Если $\cos 4x = 0$, то из уравнения следует, что $-5\sin^2 4x = 0$, то есть $\sin 4x = 0$. Но $\sin 4x$ и $\cos 4x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 4x \ne 0$:

$1 + 4\frac{\sin 4x}{\cos 4x} - 5\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = 0$

$1 + 4\tan 4x - 5\tan^2 4x = 0$

Умножим на $-1$ и расположим слагаемые в стандартном порядке: $5\tan^2 4x - 4\tan 4x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 4x$. Получаем квадратное уравнение: $5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2 - 4(5)(-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

$t_1 = \frac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два простейших тригонометрических уравнения:

1. $\tan 4x = 1 \implies 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 4x = -\frac{1}{5} \implies 4x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan 4x\cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $\cos 4x \ne 0$, откуда $4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, и $x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\tan 4x$ на $\frac{\sin 4x}{\cos 4x}$ и приведем первые два слагаемых к общему знаменателю:

$\frac{\sin 4x}{\cos 4x}\cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0 \implies \frac{\sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0$.

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ для числителя дроби:

$\frac{\sin(4x - x)}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0 \implies \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x \left(\frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2}\right) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sin 3x = 0$.

Тогда $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(4 \cdot \frac{\pi k}{3}) = \cos(\frac{4\pi k}{3})$ никогда не равен нулю для целых $k$.

Случай 2: $\frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0$.

Тогда $\frac{1}{\cos 4x} = \sqrt{2}$, откуда $\cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение не равно нулю, поэтому условие ОДЗ выполняется. Решаем уравнение:

$4x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $\frac{\pi k}{3}, \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

4. Докажите тождество

$\left(\frac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 7\alpha - \cos 5\alpha}{\cos 4\alpha} = -4\sin\alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним преобразования по шагам.

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$ \frac{\cos(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} + \frac{\sin(7\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)} $

В числителе получившегося выражения применим формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $:

$ \cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha) = \cos(7\alpha - 3\alpha) = \cos(4\alpha) $

В знаменателе применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $:

$ \sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)} $

2. Теперь преобразуем второй множитель $ \frac{\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha)}{\cos(4\alpha)} $. Для числителя используем формулу разности косинусов $ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) $:

$ \cos(7\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{12\alpha}{2})\sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2\sin(6\alpha)\sin(\alpha) $

Следовательно, второй множитель равен:

$ \frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)} $

3. Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)} \cdot \frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)} $

Сократим общие множители $ \sin(6\alpha) $ и $ \cos(4\alpha) $ в числителе и знаменателе, получим:

$ 2 \cdot (-2\sin(\alpha)) = -4\sin(\alpha) $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5. Решите неравенство $\sqrt{4-3x} < x+2$.

Данное иррациональное неравенство $ \sqrt{4 - 3x} < x + 2 $ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 4 - 3x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \\ (\sqrt{4 - 3x})^2 < (x + 2)^2 \end{cases} $

Первое неравенство $ 4 - 3x \ge 0 $ определяет область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения. Второе неравенство $ x + 2 > 0 $ является необходимым условием, так как значение арифметического квадратного корня (которое всегда неотрицательно) не может быть меньше отрицательного числа. При выполнении первых двух условий обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат, что приводит к третьему неравенству системы.

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. Решим первое неравенство:

$ 4 - 3x \ge 0 $

$ -3x \ge -4 $

$ x \le \frac{4}{3} $

Решением является промежуток $ (-\infty; \frac{4}{3}] $.

2. Решим второе неравенство:

$ x + 2 > 0 $

$ x > -2 $

Решением является промежуток $ (-2; +\infty) $.

3. Решим третье неравенство:

$ 4 - 3x < (x + 2)^2 $

$ 4 - 3x < x^2 + 4x + 4 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 0 < x^2 + 4x + 3x + 4 - 4 $

$ 0 < x^2 + 7x $

$ x^2 + 7x > 0 $

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $ x^2 + 7x = 0 $:

$ x(x + 7) = 0 $

Корнями являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -7 $.

Так как ветви параболы $ y = x^2 + 7x $ направлены вверх, неравенство $ x^2 + 7x > 0 $ выполняется, когда $ x $ находится вне интервала между корнями, то есть $ x < -7 $ или $ x > 0 $. Решением является объединение промежутков $ (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) $.

Теперь необходимо найти пересечение решений всех трех неравенств, то есть общую область, где выполняются все три условия:

$ \begin{cases} x \le \frac{4}{3} \\ x > -2 \\ x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) \end{cases} $

Сначала найдем пересечение решений первых двух неравенств: $ x > -2 $ и $ x \le \frac{4}{3} $. Это дает нам интервал $ (-2; \frac{4}{3}] $.

Далее, найдем пересечение этого интервала с решением третьего неравенства $ (-\infty; -7) \cup (0; +\infty) $:

$ (-2; \frac{4}{3}] \cap ((-\infty; -7) \cup (0; +\infty)) $

Пересечение с интервалом $ (-\infty; -7) $ пусто, так как нет чисел, которые были бы одновременно больше -2 и меньше -7.

Пересечение с интервалом $ (0; +\infty) $ дает $ (0; \frac{4}{3}] $.

Таким образом, итоговым решением системы и исходного неравенства является промежуток $ (0; \frac{4}{3}] $.

Ответ: $ (0; \frac{4}{3}] $.

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность и нечетность. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - 0,5(-x)^2 = -x^3 - 0,5x^2$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq f(x) = x^3 - 0,5x^2$.
$-f(x) = -(x^3 - 0,5x^2) = -x^3 + 0,5x^2 \neq f(-x)$.
Поскольку условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения графика с осью Oy, подставив $x = 0$:
$f(0) = 0^3 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$.
График пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$.
Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 - 0,5x^2 = 0$
$x^2(x - 0,5) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 0,5$.
График пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 0,5x^2)' = 3x^2 - x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - x = 0 \Rightarrow x(3x - 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1/3$.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1/3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1/3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.
В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = f(1/3) = (1/3)^3 - 0,5(1/3)^2 = 1/27 - 1/18 = -1/54$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [1/3; +\infty)$ и убывает на $[0; 1/3]$. Точка максимума $(0, 0)$, точка минимума $(1/3, -1/54)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (3x^2 - x)' = 6x - 1$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$6x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/6$.
Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1/6)$ и $(1/6; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 1/6)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (1/6; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x = 1/6$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$f(1/6) = (1/6)^3 - 0,5(1/6)^2 = 1/216 - 1/72 = -2/216 = -1/108$.
Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1/6]$ и выпуклый вниз на $[1/6; +\infty)$. Точка перегиба $(1/6, -1/108)$.

6. Поведение на бесконечности и асимптоты

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - 0,5/x) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - 0,5/x) = -\infty$.
Поскольку функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот у нее нет.
Ответ: Асимптот нет.

7. Построение графика

Основываясь на проведенном исследовании, построим график функции. Ключевые точки:
- Пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0.5, 0)$.
- Точка максимума: $(0, 0)$.
- Точка минимума: $(1/3, -1/54) \approx (0.33, -0.019)$.
- Точка перегиба: $(1/6, -1/108) \approx (0.17, -0.009)$.
- Дополнительные точки: $f(-0.5) = -0.25$; $f(1) = 0.5$.
График функции представлен ниже.

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.