Номер 4, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Докажите тождество

$\left(\frac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 7\alpha - \cos 5\alpha}{\cos 4\alpha} = -4\sin\alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Выполним преобразования по шагам.

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$ \frac{\cos(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} + \frac{\sin(7\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)} $

В числителе получившегося выражения применим формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $:

$ \cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha) = \cos(7\alpha - 3\alpha) = \cos(4\alpha) $

В знаменателе применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $:

$ \sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)} $

2. Теперь преобразуем второй множитель $ \frac{\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha)}{\cos(4\alpha)} $. Для числителя используем формулу разности косинусов $ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2}) $:

$ \cos(7\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{12\alpha}{2})\sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2\sin(6\alpha)\sin(\alpha) $

Следовательно, второй множитель равен:

$ \frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)} $

3. Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:

$ \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)} \cdot \frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)} $

Сократим общие множители $ \sin(6\alpha) $ и $ \cos(4\alpha) $ в числителе и знаменателе, получим:

$ 2 \cdot (-2\sin(\alpha)) = -4\sin(\alpha) $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.