Номер 2, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 |x + 3|$ на промежутке $[-4; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2|x+3|$ на промежутке $[-4; 1]$, необходимо исследовать её поведение на этом промежутке. Функция непрерывна, поэтому её наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах промежутка, либо в критических точках внутри него.

Сначала раскроем модуль, так как его значение зависит от знака выражения $x+3$.

1. При $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. На промежутке $[-3; 1]$ функция имеет вид:
$f(x) = x^2(x+3) = x^3 + 3x^2$.

2. При $x+3 < 0$, то есть $x < -3$. На промежутке $[-4; -3)$ функция имеет вид:
$f(x) = x^2(-(x+3)) = -x^3 - 3x^2$.

Теперь найдём критические точки функции – точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Для интервала $x \in (-3; 1)$ производная равна:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$.
Приравняем производную к нулю: $3x(x+2) = 0$. Отсюда получаем критические точки $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку $[-4; 1]$.

Для интервала $x \in (-4; -3)$ производная равна:
$f'(x) = (-x^3 - 3x^2)' = -3x^2 - 6x = -3x(x+2)$.
Приравняем производную к нулю: $-3x(x+2) = 0$. Корни $x=0$ и $x=-2$ не принадлежат интервалу $(-4; -3)$, поэтому на этом интервале стационарных точек нет.

Рассмотрим точку $x=-3$, где меняется определение функции. В таких точках производная может не существовать. Найдем односторонние производные:
Производная слева: $f'_-(-3) = -3(-3)^2 - 6(-3) = -27 + 18 = -9$.
Производная справа: $f'_+(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9$.
Так как $f'_-(-3) \ne f'_+(-3)$, производная в точке $x=-3$ не существует, следовательно, $x=-3$ является критической точкой.

Итак, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нам нужно вычислить значения функции в критических точках ($x=-3$, $x=-2$, $x=0$) и на концах отрезка ($x=-4$, $x=1$).

• $f(-4) = (-4)^2 \cdot |-4+3| = 16 \cdot |-1| = 16$
• $f(-3) = (-3)^2 \cdot |-3+3| = 9 \cdot 0 = 0$
• $f(-2) = (-2)^2 \cdot |-2+3| = 4 \cdot |1| = 4$
• $f(0) = 0^2 \cdot |0+3| = 0 \cdot 3 = 0$
• $f(1) = 1^2 \cdot |1+3| = 1 \cdot 4 = 4$

Сравнивая полученные значения $\{16, 0, 4, 0, 4\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение функции: $\max_{[-4;1]} f(x) = 16$.
Наименьшее значение функции: $\min_{[-4;1]} f(x) = 0$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке равно 16, наименьшее значение равно 0.