gdz.top
Номер 3, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-10758-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 9. Применение производной - номер 3, страница 124.
№2
№3 (с. 124)
Условие. №3 (с. 124)
3. Найдите такое положительное число, что разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из этого числа принимает наименьшее значение.
Решение. №3 (с. 124)
Пусть искомое положительное число равно $x$. Согласно условию задачи, $x > 0$.
Разность между этим числом и удвоенным квадратным корнем из него можно выразить в виде функции $f(x)$:
$f(x) = x - 2\sqrt{x}$
Для того чтобы найти, при каком значении $x$ эта разность принимает наименьшее значение, необходимо найти точку минимума функции $f(x)$ на интервале $(0, +\infty)$. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - 2\sqrt{x})' = (x - 2x^{1/2})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0$
$1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$
$1 = \frac{1}{\sqrt{x}}$
$\sqrt{x} = 1$
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем:
$x = 1$
Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, исследуем знак производной слева и справа от нее.
- На интервале $(0, 1)$, например, при $x = 0.25$:
$f'(0.25) = 1 - \frac{1}{\sqrt{0.25}} = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 < 0$. Значит, на этом интервале функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$, например, при $x = 4$:
$f'(4) = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 > 0$. Значит, на этом интервале функция возрастает.
Поскольку при переходе через точку $x=1$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Так как это единственная критическая точка на рассматриваемом интервале, то в ней функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения.
Следовательно, искомое положительное число равно 1.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 124 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 124), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.