Номер 5, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = -1$ является точкой минимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x$?

Для того чтобы точка $x_0 = -1$ являлась точкой минимума функции $f(x) = \frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x$, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось необходимое условие экстремума, а именно, чтобы первая производная функции обращалась в ноль: $f'(x_0) = 0$.

Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{ax^3}{3} + x^2 + a^2x\right)' = \frac{a}{3} \cdot 3x^2 + 2x + a^2 = ax^2 + 2x + a^2$.

Применим необходимое условие, подставив $x_0 = -1$ в выражение для производной:

$f'(-1) = a(-1)^2 + 2(-1) + a^2 = 0$

$a - 2 + a^2 = 0$

$a^2 + a - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно параметра $a$. Корни можно найти по теореме Виета. Произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Следовательно, корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, при каком из этих значений параметра $a$ в точке $x_0 = -1$ действительно достигается минимум. Для этого воспользуемся достаточным условием минимума. Точка $x_0$ является точкой минимума, если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке положительна, то есть $f''(x_0) > 0$.

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (ax^2 + 2x + a^2)' = 2ax + 2$.

Рассмотрим каждый из найденных корней.

При $a=1$, значение второй производной в точке $x_0 = -1$ равно:

$f''(-1) = 2(1)(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$.

В этом случае признак со второй производной не дает ответа о характере экстремума. Исследуем знак первой производной в окрестности точки $x = -1$. При $a=1$ первая производная имеет вид: $f'(x) = 1 \cdot x^2 + 2x + 1^2 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ при всех $x$, производная не меняет знак при переходе через точку $x=-1$. Она неотрицательна как слева, так и справа от этой точки. Следовательно, при $a=1$ точка $x_0 = -1$ не является точкой экстремума (это точка перегиба), а значит, и не является точкой минимума.

При $a=-2$, значение второй производной в точке $x_0 = -1$ равно:

$f''(-1) = 2(-2)(-1) + 2 = 4 + 2 = 6$.

Так как $f''(-1) = 6 > 0$, то при $a=-2$ точка $x_0 = -1$ является точкой локального минимума.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.