Номер 6, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ и построим ее график.

1. Область определения

Функция $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность и нечетность. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - 0,5(-x)^2 = -x^3 - 0,5x^2$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq f(x) = x^3 - 0,5x^2$.
$-f(x) = -(x^3 - 0,5x^2) = -x^3 + 0,5x^2 \neq f(-x)$.
Поскольку условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения графика с осью Oy, подставив $x = 0$:
$f(0) = 0^3 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$.
График пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$.
Найдем точки пересечения графика с осью Ox, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 - 0,5x^2 = 0$
$x^2(x - 0,5) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 0,5$.
График пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 0,5x^2)' = 3x^2 - x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - x = 0 \Rightarrow x(3x - 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1/3$.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1/3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1/3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.
В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = f(1/3) = (1/3)^3 - 0,5(1/3)^2 = 1/27 - 1/18 = -1/54$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [1/3; +\infty)$ и убывает на $[0; 1/3]$. Точка максимума $(0, 0)$, точка минимума $(1/3, -1/54)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (3x^2 - x)' = 6x - 1$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$6x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/6$.
Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty; 1/6)$ и $(1/6; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; 1/6)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (1/6; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
В точке $x = 1/6$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$f(1/6) = (1/6)^3 - 0,5(1/6)^2 = 1/216 - 1/72 = -2/216 = -1/108$.
Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1/6]$ и выпуклый вниз на $[1/6; +\infty)$. Точка перегиба $(1/6, -1/108)$.

6. Поведение на бесконечности и асимптоты

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - 0,5/x) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - 0,5/x) = -\infty$.
Поскольку функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот у нее нет.
Ответ: Асимптот нет.

7. Построение графика

Основываясь на проведенном исследовании, построим график функции. Ключевые точки:
- Пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0.5, 0)$.
- Точка максимума: $(0, 0)$.
- Точка минимума: $(1/3, -1/54) \approx (0.33, -0.019)$.
- Точка перегиба: $(1/6, -1/108) \approx (0.17, -0.009)$.
- Дополнительные точки: $f(-0.5) = -0.25$; $f(1) = 0.5$.
График функции представлен ниже.

Ответ: Исследование функции проведено, график построен.