Номер 3, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x + 1} = x - 1;$

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5;$

3) $\text{tg } 4x \cos x - \sin x - \sqrt{2} \sin 3x = 0.$

1) $\sqrt{3x + 1} = x - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases}$.

Из системы следует, что ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2$

$3x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$.

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Ответ: $5$.

2) $6\cos^2 4x + 2\sin 8x = 5$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\sin 8x$ и основное тригонометрическое тождество, представив $5$ как $5 \cdot 1 = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$.

$6\cos^2 4x + 2(2\sin 4x \cos 4x) = 5(\sin^2 4x + \cos^2 4x)$

$6\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x = 5\sin^2 4x + 5\cos^2 4x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение:

$6\cos^2 4x - 5\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x - 5\sin^2 4x = 0$

$\cos^2 4x + 4\sin 4x \cos 4x - 5\sin^2 4x = 0$

Убедимся, что $\cos 4x \ne 0$. Если $\cos 4x = 0$, то из уравнения следует, что $-5\sin^2 4x = 0$, то есть $\sin 4x = 0$. Но $\sin 4x$ и $\cos 4x$ не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 4x \ne 0$:

$1 + 4\frac{\sin 4x}{\cos 4x} - 5\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = 0$

$1 + 4\tan 4x - 5\tan^2 4x = 0$

Умножим на $-1$ и расположим слагаемые в стандартном порядке: $5\tan^2 4x - 4\tan 4x - 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \tan 4x$. Получаем квадратное уравнение: $5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2 - 4(5)(-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

$t_1 = \frac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два простейших тригонометрических уравнения:

1. $\tan 4x = 1 \implies 4x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 4x = -\frac{1}{5} \implies 4x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k \implies x = -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, -\frac{1}{4}\arctan(\frac{1}{5}) + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan 4x\cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $\cos 4x \ne 0$, откуда $4x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, и $x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\tan 4x$ на $\frac{\sin 4x}{\cos 4x}$ и приведем первые два слагаемых к общему знаменателю:

$\frac{\sin 4x}{\cos 4x}\cos x - \sin x - \sqrt{2}\sin 3x = 0 \implies \frac{\sin 4x \cos x - \cos 4x \sin x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0$.

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ для числителя дроби:

$\frac{\sin(4x - x)}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0 \implies \frac{\sin 3x}{\cos 4x} - \sqrt{2}\sin 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x \left(\frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2}\right) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\sin 3x = 0$.

Тогда $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, откуда $x = \frac{\pi k}{3}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(4 \cdot \frac{\pi k}{3}) = \cos(\frac{4\pi k}{3})$ никогда не равен нулю для целых $k$.

Случай 2: $\frac{1}{\cos 4x} - \sqrt{2} = 0$.

Тогда $\frac{1}{\cos 4x} = \sqrt{2}$, откуда $\cos 4x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение не равно нулю, поэтому условие ОДЗ выполняется. Решаем уравнение:

$4x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $\frac{\pi k}{3}, \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.