Номер 2, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

2. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем нули числителя:

$x^2 - 16 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

$x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения (в них дробь равна нулю).

2. Найдем нули знаменателя:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$.

Эти точки должны быть исключены из области определения, так как в них знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

3. Нанесем найденные точки на числовую ось, отмечая нули числителя (-4 и 4) закрашенными кружками, а нули знаменателя (1 и 5) — выколотыми. Эти точки разбивают ось на пять интервалов:

$(-\infty; -4], [-4; 1), (1; 4], [4; 5), (5; +\infty)$

4. Определим знак выражения $\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}$ в каждом из интервалов, подставив в него любое значение из этого интервала.

• При $x > 5$ (например, $x=10$): $\frac{100-16}{-100+60-5} = \frac{84}{-45} < 0$.
• При $x \in (4; 5)$ (например, $x=4.5$): $\frac{4.5^2-16}{-4.5^2+6 \cdot 4.5 - 5} = \frac{20.25-16}{-20.25+27-5} = \frac{4.25}{1.75} > 0$.
• При $x \in (1; 4)$ (например, $x=2$): $\frac{4-16}{-4+12-5} = \frac{-12}{3} < 0$.
• При $x \in (-4; 1)$ (например, $x=0$): $\frac{0-16}{0+0-5} = \frac{-16}{-5} > 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{25-16}{-25-30-5} = \frac{9}{-60} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение неотрицательно ($\ge 0$). Это интервалы $(-4; 1)$ и $(4; 5)$, а также точки, где числитель равен нулю ($x=-4, x=4$).

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции.

Ответ: $x \in [-4; 1) \cup [4; 5)$.