gdz.top
Номер 6, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-10758-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Производная. Уравнение касательной - номер 6, страница 123.
№5
№6 (с. 123)
Условие. №6 (с. 123)
6. В какой точке графика функции $y = \frac{1}{x-3}$ надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами $(1; 0)$?
Решение. №6 (с. 123)
Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0, y_0)$. Поскольку эта точка лежит на графике функции $y = \frac{1}{x-3}$, её координаты удовлетворяют уравнению функции:
$y_0 = \frac{1}{x_0-3}$
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{x-3}$.
$f'(x) = \left((x-3)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-3)^{-2} \cdot (x-3)' = -\frac{1}{(x-3)^2}$
Значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной) равно:
$f'(x_0) = -\frac{1}{(x_0-3)^2}$
Теперь подставим $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{x_0-3} - \frac{1}{(x_0-3)^2}(x - x_0)$
По условию задачи, эта касательная проходит через точку с координатами $(1; 0)$. Подставим значения $x=1$ и $y=0$ в уравнение касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$0 = \frac{1}{x_0-3} - \frac{1}{(x_0-3)^2}(1 - x_0)$
Решим это уравнение. Умножим обе части на $(x_0-3)^2$, учитывая, что $x_0 \neq 3$ (из области определения функции).
$0 \cdot (x_0-3)^2 = \frac{1}{x_0-3} \cdot (x_0-3)^2 - \frac{1-x_0}{(x_0-3)^2} \cdot (x_0-3)^2$
$0 = (x_0-3) - (1-x_0)$
$0 = x_0 - 3 - 1 + x_0$
$0 = 2x_0 - 4$
$2x_0 = 4$
$x_0 = 2$
Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату $y_0$, подставив $x_0=2$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = \frac{1}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1$
Следовательно, искомая точка касания имеет координаты $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 123 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 123), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.