Страница 123 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8

Производная. Уравнение касательной

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x;$

2) $f(x) = (2-5x)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2};$

4) $f(x) = \cos^5 4x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (3x^6 + \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 5x)' = (3x^6)' + (\frac{1}{4}x^4)' - (2x^2)' + (5x)'$

Применяем правило для каждого слагаемого:

$f'(x) = 3 \cdot 6x^{6-1} + \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1}$

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5 \cdot x^0$

Так как $x^0 = 1$, получаем:

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$

Ответ: $f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

2) Дана функция $f(x) = (2-5x)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2-5x$ и $v(x) = \sqrt{x}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2-5x)' = 0 - 5 = -5$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -5 \cdot \sqrt{x} + (2-5x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = -5\sqrt{x} + \frac{2-5x}{2\sqrt{x}}$

Приведем к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{-5\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{2-5x}{2\sqrt{x}} = \frac{-10x + 2 - 5x}{2\sqrt{x}} = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного двух функций $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x+2$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$

$v'(x) = (x+2)' = 1$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x-8)(x+2) - (x^2-8x) \cdot 1}{(x+2)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 8x - 16 - x^2 + 8x}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^2 - x^2) + (4x - 8x + 8x) - 16}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos^5(4x)$.

Это сложная функция. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить как $y(u) = u^5$, где $u(v) = \cos(v)$, а $v(x) = 4x$.

Производная сложной функции $(y(u(v(x))))'$ находится как произведение производных $y'(u) \cdot u'(v) \cdot v'(x)$.

$f'(x) = (\cos^5(4x))'$

Сначала дифференцируем внешнюю степенную функцию:

$f'(x) = 5\cos^{5-1}(4x) \cdot (\cos(4x))'$

Затем дифференцируем функцию косинуса:

$f'(x) = 5\cos^4(4x) \cdot (-\sin(4x)) \cdot (4x)'$

И, наконец, дифференцируем внутреннюю функцию:

$f'(x) = 5\cos^4(4x) \cdot (-\sin(4x)) \cdot 4$

Перемножим числовые коэффициенты:

$f'(x) = -20\cos^4(4x)\sin(4x)$

Ответ: $f'(x) = -20\sin(4x)\cos^4(4x)$.

2. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для нашей задачи даны функция $f(x) = 3x^2 - x^3$ и точка $x_0 = -2$.

Последовательно найдем все компоненты уравнения.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)^3 = 3 \cdot 4 - (-8) = 12 + 8 = 20$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2; 20)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 3 \cdot (x^2)' - (x^3)' = 3 \cdot 2x - 3x^2 = 6x - 3x^2$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:

$f'(x_0) = f'(-2) = 6(-2) - 3(-2)^2 = -12 - 3 \cdot 4 = -12 - 12 = -24$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 20$, $f'(x_0) = -24$ и $x_0 = -2$ в общее уравнение касательной:

$y = 20 + (-24)(x - (-2))$

Теперь упростим полученное выражение:

$y = 20 - 24(x + 2)$

$y = 20 - 24x - 48$

$y = -24x - 28$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $y = -24x - 28$

3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ — в метрах). Найдите скорость движения в момент времени $t_0 = 4$.

Скорость движения материальной точки является первой производной от её перемещения по времени. Закон движения задан функцией:

$s(t) = 8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3$

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, нужно найти производную функции $s(t)$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (8)' + (15t)' + (t^2)' - (\frac{1}{3}t^3)' = 0 + 15 + 2t - \frac{1}{3} \cdot 3t^2 = 15 + 2t - t^2$

Таким образом, зависимость скорости от времени описывается функцией:

$v(t) = 15 + 2t - t^2$

Теперь найдём скорость в момент времени $t_0 = 4$ с. Для этого подставим значение $t = 4$ в полученную функцию скорости:

$v(4) = 15 + 2 \cdot 4 - 4^2$

$v(4) = 15 + 8 - 16$

$v(4) = 23 - 16 = 7$

Так как перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 7 м/с.

4. Найдите производную функции $y = x^2 - |x + 2|$ в точках $x = -3$ и $x = -1$.

Чтобы найти производную функции $y = x^2 - |x + 2|$, содержащей модуль, необходимо сначала раскрыть этот модуль. Выражение под модулем, $x+2$, меняет знак в точке $x=-2$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x + 2| = x + 2$.
В этом случае функция принимает вид: $y = x^2 - (x + 2) = x^2 - x - 2$.

2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2)$.
В этом случае функция принимает вид: $y = x^2 - (-(x + 2)) = x^2 + x + 2$.

Таким образом, функцию можно представить в кусочно-заданном виде:
$y(x) = \begin{cases} x^2 + x + 2, & \text{если } x < -2 \\ x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

Теперь найдем производную $y'(x)$ для каждого интервала, дифференцируя соответствующее выражение:
1. При $x < -2$: $y'(x) = (x^2 + x + 2)' = 2x + 1$.
2. При $x > -2$: $y'(x) = (x^2 - x - 2)' = 2x - 1$.

Теперь мы можем вычислить значение производной в заданных точках.

в точке x = -3

Точка $x = -3$ удовлетворяет условию $x < -2$. Следовательно, для нахождения производной в этой точке мы используем формулу $y'(x) = 2x + 1$.
Подставляем значение $x = -3$ в эту формулу:
$y'(-3) = 2 \cdot (-3) + 1 = -6 + 1 = -5$.
Ответ: $-5$.

в точке x = -1

Точка $x = -1$ удовлетворяет условию $x > -2$. Следовательно, для нахождения производной в этой точке мы используем формулу $y'(x) = 2x - 1$.
Подставляем значение $x = -1$ в эту формулу:
$y'(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.
Ответ: $-3$.

5. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x) = x^2 + 3x\sqrt{3}$, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $120^\circ$.

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, для нахождения абсциссы $x_0$ точки касания необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

В нашей задаче дана функция $f(x) = x^2 + 3x\sqrt{3}$ и угол $\alpha = 120^\circ$.

1. Найдем производную функции.
$f'(x) = (x^2 + 3x\sqrt{3})' = (x^2)' + (3\sqrt{3}x)' = 2x + 3\sqrt{3}$.

2. Вычислим угловой коэффициент касательной.
Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона: $k = \tan(120^\circ)$.
Используя формулы приведения, находим:
$\tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.
Таким образом, $k = -\sqrt{3}$.

3. Найдем абсциссу точки касания.
Приравняем производную к угловому коэффициенту и решим уравнение:
$f'(x) = k$
$2x + 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}$
Перенесем слагаемое $3\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:
$2x = -\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$
$2x = -4\sqrt{3}$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{-4\sqrt{3}}{2}$
$x = -2\sqrt{3}$

Следовательно, абсцисса точки графика, в которой касательная образует угол $120^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс, равна $-2\sqrt{3}$.

Ответ: $-2\sqrt{3}$.

6. В какой точке графика функции $y = \frac{1}{x-3}$ надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами $(1; 0)$?

Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0, y_0)$. Поскольку эта точка лежит на графике функции $y = \frac{1}{x-3}$, её координаты удовлетворяют уравнению функции:

$y_0 = \frac{1}{x_0-3}$

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{x-3}$.

$f'(x) = \left((x-3)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-3)^{-2} \cdot (x-3)' = -\frac{1}{(x-3)^2}$

Значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной) равно:

$f'(x_0) = -\frac{1}{(x_0-3)^2}$

Теперь подставим $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{x_0-3} - \frac{1}{(x_0-3)^2}(x - x_0)$

По условию задачи, эта касательная проходит через точку с координатами $(1; 0)$. Подставим значения $x=1$ и $y=0$ в уравнение касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$0 = \frac{1}{x_0-3} - \frac{1}{(x_0-3)^2}(1 - x_0)$

Решим это уравнение. Умножим обе части на $(x_0-3)^2$, учитывая, что $x_0 \neq 3$ (из области определения функции).

$0 \cdot (x_0-3)^2 = \frac{1}{x_0-3} \cdot (x_0-3)^2 - \frac{1-x_0}{(x_0-3)^2} \cdot (x_0-3)^2$

$0 = (x_0-3) - (1-x_0)$

$0 = x_0 - 3 - 1 + x_0$

$0 = 2x_0 - 4$

$2x_0 = 4$

$x_0 = 2$

Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату $y_0$, подставив $x_0=2$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = \frac{1}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1$

Следовательно, искомая точка касания имеет координаты $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.