Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Функция и её свойства. Метод интервалов

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^2 + 2x - 8$ на промежутке $[-3; 3]$.

1.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 + 2x - 8$ на отрезке $[-3; 3]$, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка, а также в точке вершины параболы, если она принадлежит данному отрезку. Затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Это означает, что в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.

1. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=2$.

$x_в = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

2. Проверим, принадлежит ли точка $x_в = -1$ отрезку $[-3; 3]$.

Так как $-3 \le -1 \le 3$, вершина параболы находится внутри заданного отрезка. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке будет достигаться именно в этой точке.

3. Вычислим значения функции в точке вершины и на концах отрезка.

Значение в вершине:

$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$

Значения на концах отрезка:

$y(-3) = (-3)^2 + 2(-3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$

$y(3) = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$

4. Сравним полученные значения: -9, -5 и 7.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-3; 3]$ равно -9 (достигается при $x=-1$).

Наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 3]$ равно 7 (достигается при $x=3$).

Ответ: наименьшее значение функции -9, наибольшее значение функции 7.

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^8 - 6x^4 + 2;$

2) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5};$

3) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}.$

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (её называют функцией общего вида).

1) $y = x^8 - 6x^4 + 2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^8 - 6x^4 + 2$.

1. Область определения $D(f)$: так как функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел, т.е. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^8 - 6(-x)^4 + 2$

Поскольку $(-x)$ в чётной степени равен $x$ в той же степени (например, $(-x)^2 = x^2, (-x)^4 = x^4$), получаем:

$f(-x) = x^8 - 6x^4 + 2$

3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $y = \frac{x^2 - 8}{x^5}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 8}{x^5}$.

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^5 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 8}{(-x)^5} = \frac{x^2 - 8}{-x^5} = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$

3. Сравниваем $f(-x)$ с $-f(x)$.

$-f(x) = -\left(\frac{x^2 - 8}{x^5}\right) = -\frac{x^2 - 8}{x^5}$

Получаем, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$

Обозначим данную функцию как $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 4}$.

1. Найдём область определения $D(f)$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Область определения несимметрична относительно начала координат, так как точка $x=-4$ принадлежит области определения, а точка $x=4$ — нет.

Поскольку основное условие симметричности области определения не выполнено, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Дополнительно можно упростить функцию:

$f(x) = \frac{x(x - 4)}{x - 4}$

При $x \neq 4$ дробь можно сократить, и мы получим $f(x) = x$. Таким образом, это функция $y=x$ с "выколотой" точкой при $x=4$. Её область определения несимметрична, поэтому функция относится к функциям общего вида.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Найдите функцию, обратную к функции $y = 5x - 10$.

3.

Для нахождения функции, обратной к функции $y = 5x - 10$, необходимо выразить $x$ через $y$ из данного уравнения, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

1. Выразим $x$ из уравнения $y = 5x - 10$.
Сначала перенесём слагаемое $-10$ в левую часть уравнения, изменив его знак:
$y + 10 = 5x$
Теперь разделим обе части уравнения на 5, чтобы получить выражение для $x$:
$x = \frac{y + 10}{5}$

2. Заменим в полученном уравнении $x$ на $y$, а $y$ на $x$. Это стандартная процедура для получения обратной функции в виде $y = f(x)$.
$y = \frac{x + 10}{5}$

Полученное выражение можно записать в виде линейной функции $y = kx+b$, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{x}{5} + \frac{10}{5}$
$y = \frac{1}{5}x + 2$

Таким образом, функция, обратная к $y = 5x - 10$, это $y = \frac{1}{5}x + 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{5}x + 2$

4. Постройте график функции $y = \sqrt{2|x|-3}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2|x| - 3}$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Поэтому решим неравенство:

$2|x| - 3 \geq 0$

$2|x| \geq 3$

$|x| \geq \frac{3}{2}$ или $|x| \geq 1.5$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \geq 1.5$ и $x \leq -1.5$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1.5] \cup [1.5; \infty)$.

2. Исследование функции на чётность

Проверим, является ли функция чётной или нечётной. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{2|-x| - 3} = \sqrt{2|x| - 3} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x \geq 1.5$, а затем симметрично отразить её относительно оси Oy.

3. Построение графика

Рассмотрим функцию при $x \geq 1.5$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = \sqrt{2x - 3}$

Это график верхней ветви параболы $y^2 = 2x - 3$ (или $x = \frac{1}{2}y^2 + 1.5$), вершина которой находится в точке $(1.5; 0)$.

Найдём координаты нескольких точек для этой ветви:

• при $x = 1.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 1.5 - 3} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(1.5; 0)$.
• при $x = 2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
• при $x = 3.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 3.5 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3.5; 2)$.
• при $x = 6$, $y = \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.

Построим эту ветвь графика по точкам. Затем, используя свойство симметрии относительно оси Oy, построим вторую ветвь для $x \leq -1.5$. Она будет проходить через точки $(-1.5; 0)$, $(-2; 1)$, $(-3.5; 2)$, $(-6; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2|x| - 3}$ состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей. Правая ветвь начинается в точке $(1.5; 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{2x-3}$. Левая ветвь начинается в точке $(-1.5; 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{-2x-3}$.

5. Решите неравенство:

1) $(x - 6)(x + 11)(x - 14) < 0;$

2) $(7 - x)(x - 11)(x - 9)^2 \le 0;$

3) $\frac{x}{x - 4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2 - 4x} \ge 0.$

6. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x|-3| = a - x$ имеет один корень?

Решим данную задачу графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |2|x| - 3|$ и $y = a - x$.

1. Построение графика функции $y = |2|x| - 3|$.

Построение будем выполнять в несколько шагов:

а) Сначала построим график функции $y = 2|x| - 3$. При $x \ge 0$ функция принимает вид $y = 2x - 3$ (прямая). При $x < 0$ функция принимает вид $y = 2(-x) - 3 = -2x - 3$ (прямая). График этой функции представляет собой "галочку" (V-образную кривую) с вершиной в точке $(0, -3)$ и пересечением с осью Ox в точках $x = 1.5$ и $x = -1.5$.

б) Теперь построим график функции $y = |2|x| - 3|$. Для этого часть графика функции $y = 2|x| - 3$, которая находится ниже оси Ox (то есть, где $y < 0$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений. Вершина $(0, -3)$ перейдет в точку $(0, 3)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1.5, 0)$ и $(1.5, 0)$ останутся на месте. В итоге мы получим график, по форме напоминающий букву "W". Он состоит из четырех отрезков прямых.

Функцию $y = |2|x| - 3|$ можно задать кусочно:$y(x) = \begin{cases} -2x-3, & \text{при } x \le -1.5 \\ 2x+3, & \text{при } -1.5 < x \le 0 \\ -2x+3, & \text{при } 0 < x < 1.5 \\ 2x-3, & \text{при } x \ge 1.5 \end{cases}$Ключевые точки (изломы) графика: $(-1.5, 0)$, $(0, 3)$ и $(1.5, 0)$.

2. Исследование семейства прямых $y = a - x$.

Функция $y = a - x$ или $y = -x + a$ представляет собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) равным $-1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси Oy; при увеличении $a$ прямая сдвигается вверх.

3. Нахождение числа точек пересечения.

Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых прямая $y = a - x$ пересекает график $y = |2|x| - 3|$ ровно в одной точке. Проанализируем, как меняется число точек пересечения при изменении параметра $a$.

Будем "двигать" прямую $y = a - x$ снизу вверх, увеличивая параметр $a$.

• Если прямая проходит ниже левой и правой нижних вершин графика "W" (точек $(-1.5, 0)$ и $(1.5, 0)$), то пересечений нет.
• Первое пересечение возникнет, когда прямая коснется одной из нижних вершин. Найдем значение $a$, при котором прямая проходит через левую вершину $(-1.5, 0)$:$0 = a - (-1.5) \Rightarrow 0 = a + 1.5 \Rightarrow a = -1.5$. При $a = -1.5$ прямая $y = -x - 1.5$ касается графика в точке $(-1.5, 0)$. Так как угловой коэффициент прямой ($-1$) не совпадает с угловыми коэффициентами участков графика ($-2$ и $2$), то в этой точке происходит именно касание (одна общая точка), а не пересечение с заходом внутрь фигуры. Это единственная точка пересечения. Таким образом, при $a=-1.5$ уравнение имеет один корень.
• Если немного увеличить $a$ ($-1.5 < a < 1.5$), прямая будет пересекать левую "сторону" графика в двух точках.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через правую вершину $(1.5, 0)$:$0 = a - 1.5 \Rightarrow a = 1.5$. При $a=1.5$ прямая $y = -x + 1.5$ проходит через точку $(1.5, 0)$. При этом она также пересекает график в двух других точках (на участках $x \le -1.5$ и $-1.5 < x \le 0$). Всего получается 3 точки пересечения.
• При дальнейшем увеличении $a$ ($1.5 < a < 3$) прямая будет пересекать все четыре участка графика, что даст 4 точки пересечения.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через верхнюю вершину $(0, 3)$:$3 = a - 0 \Rightarrow a = 3$. При $a=3$ прямая $y = -x + 3$ проходит через точку $(0, 3)$ и пересекает график еще в двух точках. Всего 3 точки пересечения.
• При $a > 3$ прямая будет пересекать только два крайних луча графика. Всего 2 точки пересечения.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет ровно один корень, соответствует случаю касания прямой графика в левой нижней вершине.

Ответ: $a = -1.5$.