Номер 4, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции $y = \sqrt{2|x|-3}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2|x| - 3}$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Поэтому решим неравенство:

$2|x| - 3 \geq 0$

$2|x| \geq 3$

$|x| \geq \frac{3}{2}$ или $|x| \geq 1.5$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x \geq 1.5$ и $x \leq -1.5$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1.5] \cup [1.5; \infty)$.

2. Исследование функции на чётность

Проверим, является ли функция чётной или нечётной. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sqrt{2|-x| - 3} = \sqrt{2|x| - 3} = y(x)$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить ветвь графика для $x \geq 1.5$, а затем симметрично отразить её относительно оси Oy.

3. Построение графика

Рассмотрим функцию при $x \geq 1.5$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция принимает вид:

$y = \sqrt{2x - 3}$

Это график верхней ветви параболы $y^2 = 2x - 3$ (или $x = \frac{1}{2}y^2 + 1.5$), вершина которой находится в точке $(1.5; 0)$.

Найдём координаты нескольких точек для этой ветви:

• при $x = 1.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 1.5 - 3} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(1.5; 0)$.
• при $x = 2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
• при $x = 3.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 3.5 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3.5; 2)$.
• при $x = 6$, $y = \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.

Построим эту ветвь графика по точкам. Затем, используя свойство симметрии относительно оси Oy, построим вторую ветвь для $x \leq -1.5$. Она будет проходить через точки $(-1.5; 0)$, $(-2; 1)$, $(-3.5; 2)$, $(-6; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2|x| - 3}$ состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей. Правая ветвь начинается в точке $(1.5; 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{2x-3}$. Левая ветвь начинается в точке $(-1.5; 0)$ и является графиком функции $y = \sqrt{-2x-3}$.