gdz.top
Номер 7, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-10758-3
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 1. Множества. Высказывания и предикаты - номер 7, страница 116.
№6
№7 (с. 116)
Условие. №7 (с. 116)
7. Множество B содержит 27 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?
Решение. №7 (с. 116)
Пусть задано множество $B$, содержащее $n$ элементов. По условию, $n=27$.
Количество всех возможных подмножеств множества из $n$ элементов равно $2^n$.
Количество подмножеств, содержащих ровно $k$ элементов, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \binom{n}{k}$.
Нам необходимо сравнить количество подмножеств с чётным числом элементов и с нечётным числом элементов.
Пусть $N_{чёт}$ — это количество подмножеств с чётным числом элементов. Это сумма количеств подмножеств с 0, 2, 4, ... элементами.
$N_{чёт} = C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}$
Пусть $N_{нечёт}$ — это количество подмножеств с нечётным числом элементов. Это сумма количеств подмножеств с 1, 3, 5, ... элементами.
$N_{нечёт} = C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27}$
Для сравнения этих двух сумм воспользуемся формулой бинома Ньютона:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$
Подставим $n=27$, $x=1$ и $y=-1$:
$(1 + (-1))^{27} = C_{27}^0 (1)^{27}(-1)^0 + C_{27}^1 (1)^{26}(-1)^1 + C_{27}^2 (1)^{25}(-1)^2 + \dots + C_{27}^{27} (1)^0(-1)^{27}$
Упростим левую и правую части уравнения:
$0^{27} = C_{27}^0 - C_{27}^1 + C_{27}^2 - C_{27}^3 + \dots - C_{27}^{27}$
$0 = (C_{27}^0 + C_{27}^2 + C_{27}^4 + \dots + C_{27}^{26}) - (C_{27}^1 + C_{27}^3 + C_{27}^5 + \dots + C_{27}^{27})$
Это равенство можно записать как:
$0 = N_{чёт} - N_{нечёт}$
Отсюда следует, что $N_{чёт} = N_{нечёт}$.
Таким образом, количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов.
Ответ: Количество подмножеств с чётным количеством элементов равно количеству подмножеств с нечётным количеством элементов.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 116 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 116), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.